Vamos analisar passo a passo. Dada a posição da partícula: \[ x(t) = \sqrt{D^2 + (Vt - D)^2} \] Queremos encontrar a distância percorrida até o instante em que a velocidade média \( v(t) \) entre \( t_0 = 0 \) e \( t \) seja zero. 1. A velocidade média é dada por: \[ v(t) = \frac{x(t) - x(0)}{t - 0} = \frac{x(t) - x(0)}{t} \] 2. Calculando \( x(0) \): \[ x(0) = \sqrt{D^2 + (V \cdot 0 - D)^2} = \sqrt{D^2 + (-D)^2} = \sqrt{D^2 + D^2} = \sqrt{2} D \] 3. Para que \( v(t) = 0 \), o numerador deve ser zero: \[ x(t) - x(0) = 0 \implies x(t) = x(0) = \sqrt{2} D \] 4. Então, queremos encontrar \( t \) tal que: \[ \sqrt{D^2 + (V t - D)^2} = \sqrt{2} D \] Elevando ambos os lados ao quadrado: \[ D^2 + (V t - D)^2 = 2 D^2 \] \[ (V t - D)^2 = 2 D^2 - D^2 = D^2 \] \[ V t - D = \pm D \] 5. Resolvendo para \( t \): - Caso 1: \[ V t - D = D \implies V t = 2 D \implies t = \frac{2 D}{V} \] - Caso 2: \[ V t - D = -D \implies V t = 0 \implies t = 0 \] Como \( t=0 \) é o início, o instante que interessa é: \[ t = \frac{2 D}{V} \] 6. Agora, queremos a distância percorrida até esse instante. A distância percorrida é o comprimento do caminho entre \( t=0 \) e \( t = \frac{2D}{V} \). Como a posição é dada por \( x(t) \), e a partícula está se movendo, a distância percorrida é a integral da velocidade escalar entre esses instantes. Mas podemos observar que a função \( x(t) \) representa a distância da partícula a um ponto fixo, e a partícula se move de uma posição inicial \( x(0) = \sqrt{2} D \) para \( x(t) = \sqrt{2} D \) novamente, ou seja, a posição final é igual à inicial, o que indica que a partícula voltou ao ponto inicial. Porém, a distância percorrida não é zero, pois a partícula se moveu. 7. Para encontrar a distância percorrida, vamos derivar \( x(t) \) para obter a velocidade instantânea e integrar seu módulo. Derivando \( x(t) \): \[ x(t) = \sqrt{D^2 + (V t - D)^2} \] \[ x(t) = \sqrt{D^2 + (V t - D)^2} \] Derivando: \[ v(t) = \frac{d x}{d t} = \frac{1}{2} \cdot \frac{2 (V t - D) V}{\sqrt{D^2 + (V t - D)^2}} = \frac{V (V t - D)}{\sqrt{D^2 + (V t - D)^2}} \] 8. A velocidade instantânea muda de sinal em \( t = \frac{D}{V} \), pois: \[ v(t) = 0 \implies V t - D = 0 \implies t = \frac{D}{V} \] 9. A partícula começa em \( t=0 \) com velocidade negativa (pois \( V t - D = -D < 0 \)), passa por velocidade zero em \( t = \frac{D}{V} \), e depois a velocidade fica positiva. 10. A distância percorrida até \( t = \frac{2 D}{V} \) é a soma do deslocamento absoluto em cada trecho: - De \( t=0 \) até \( t = \frac{D}{V} \), a partícula se move de \( x(0) = \sqrt{2} D \) até \( x\left(\frac{D}{V}\right) \). - De \( t = \frac{D}{V} \) até \( t = \frac{2 D}{V} \), a partícula volta para \( x\left(\frac{2 D}{V}\right) = \sqrt{2} D \). Calculando \( x\left(\frac{D}{V}\right) \): \[ x\left(\frac{D}{V}\right) = \sqrt{D^2 + (V \cdot \frac{D}{V} - D)^2} = \sqrt{D^2 + (D - D)^2} = \sqrt{D^2 + 0} = D \] Então: - Distância do início até \( t = \frac{D}{V} \): \[ \Delta x_1 = \sqrt{2} D - D = (\sqrt{2} - 1) D \] - Distância de \( t = \frac{D}{V} \) até \( t = \frac{2 D}{V} \): \[ \Delta x_2 = \sqrt{2} D - D = (\sqrt{2} - 1) D \] 11. Portanto, a distância total percorrida até \( t = \frac{2 D}{V} \) é: \[ \Delta x = \Delta x_1 + \Delta x_2 = 2 (\sqrt{2} - 1) D \] Resposta correta: B) \( 2(\sqrt{2} - 1) D \)