Alguma sugestão para resolver essas integrais?

Para a letra a:

Na integral ∫sen(x)^n dx, tente usar integração por partes. Só para lembrar (não tou duvidando da sua inteligência, é só caso a gente use notação diferente!)

∫udv = u*v - ∫vdu

Experimente escrever sen(x)^n como sen(x) * sen(x)^(n-1). Assim, chame

u = sen(x)^(n-1)   e   dv = sen(x)dx

Dessa forma, derivando o u e integrando o dv:

du = (n-1)sen(x)^(n-2)*cos(x) dx    e    v = -cos(x)

Agora substitua essa galera toda na equação lá em cima:

∫sen(x)^n dx = -cos(x)*sen(x)^{n-1} - ∫cos(x)*(n-1)*sen(x)^{n-2}*cos(x) dx
                      = -cos(x)*sen(x)^{n-1} - (n-1)∫cos²(x)*sen(x)^{n-2} dx

Na segunda integral, como sen²(x) + cos²(x) = 1 para qualquer x, dá para escrevê-la como

(n-1)∫cos²(x)*sen(x)^{n-2} dx = (n-1)[ ∫1*sen(x)^{n-2} dx - ∫sen²(x) * sen(x)^{n-2) dx ]
                                                  = (n-1)[ ∫sen(x)^{n-2} dx - ∫sen(x)^n dx ]

Agora é só substituir esse troço todo lá em cima:

∫sen(x)^n dx = -cos(x)*sen(x)^{n-1} - (n-1)[ ∫sen(x)^{n-2} dx - ∫sen(x)^n dx ]
                      = -cos(x)*sen(x)^{n-1} - (n-1)∫sen(x)^{n-2} dx + (n-1) ∫sen(x)^n dx

Observe que a gente tem ∫sen(x)^n dx de um lado e (n-1) ∫sen(x)^n dx do outro. Então, passando esta última para o lado esquerdo:

∫sen(x)^n dx - (n-1)∫sen(x)^n dx = -cos(x)*sen(x)^{n-1} - (n-1)∫sen(x)^{n-2} dx
-n ∫sen(x)^n dx = -cos(x)*sen(x)^{n-1} - (n-1)∫sen(x)^{n-2} dx

Dividindo tudo por (-n):

∫sen(x)^n dx = (1/n)*cos(x)*sen(x)^{n-1} + (n-1)/n * ∫sen(x)^{n-2} dx

Observe que esta integral é indefinida. Na hora de calcular com o x variando de 0 a π/2, basta só calcular o termo do meio (1/n)*cos(x)*sen(x)^{n-1} com x = π/2 e subtrair dele com x = 0:

(1/n)*cos(x)*sen(x)^{n-1}|_{0}^{π/2} = (1/n)* [cos(π/2)*sen(π/2)^{n-1} - cos(0)*sen(0)^{n-1}]

Como você sabe, cos(π/2) = 0 e sen(0) = 0. Assim, sobra um 0 - 0 = 0, e este termo todo é igual a 0 quando substituímos com os limites que você deu. O resultado final é então:

∫sen(x)^n dx = (n-1)/n * ∫sen(x)^{n-2} dx com x variando de 0 a π/2

A (b) eu vou pensar mais um pouquinho e tento escrever aqui depois!

Entendi. obrigada pela força

(a) Para demonstrar essa identidade, vamos usar integração por partes, partindo do lado esquerdo:

\(I=∫_0^{\pi/2}sen^nx\ dx\)

Fazendo

\(u=sen^{n-1}x\Rightarrow du=(n-1)sen^{n-2}x\ cos\ x\ dx\\ dv=sen\ x\ dx\Rightarrow v=-cos\ x\)

Temos:

\(\begin{align} I&=\left[-sen^{n-1}x\ cos\ x\right]_0^{\pi/2}-\int_0^{\pi/2}-(n-1)cos\ x\ sen^{n-2}x\ cos\ x\ dx\\ &=0+(n-1)\int_0^{\pi/2}sen^{n-2}x\ cos^2x\ dx\\ &=(n-1)\int_0^{\pi/2}sen^{n-2}x(1-sen^2x)\ dx\\ &=(n-1)\int_0^{\pi/2}sen^{n-2}x\ dx-(n-1)\int_0^{\pi/2}sen^nx\ dx\\ &=(n-1)\int_0^{\pi/2}sen^{n-2}x\ dx-(n-1)I \end{align}\)

Passando todos os termos que contenham \(I\) para o lado esquerdo da equação, temos:

\(nI=(n-1)\int_0^{\pi/2}sen^{n-2}x\ dx\Rightarrow \boxed{I=∫_0^{\pi/2}sen^nx\ dx=\left({n-1\over n}\right)∫sen^{n-2}x\ dx}_{C.Q.D.}\)

(b) Partindo do resultado do item anterior, temos:

\(I = ∫_0^{\pi/2}sen^{2n+1}x\ dx=\left({2n\over2n+1}\right)∫_0^{\pi/2}sen^{2n-1}x\ dx=\left({2n\over2n+1}\right)\left({2n-2\over2n-1}\right)∫_0^{\pi/2}sen^{2n-3}x\ dx\)

Como o expoente inicial é ímpar e o decremento é de 2 em 2, continuando, chegaremos a:

\(I={2n\cdot(2n-2)\cdots2\over(2n+1)\cdot(2n-1)\cdots3}∫_0^{\pi/2}sen\ x\ dx={(2n)!!\over(2n+1)!!}\left[-cos\ x\right]_0^{\pi/2}={(2n)!!\over(2n+1)!!}\left[0+1\right] \)

Temos finalmente:

\(\boxed{I = ∫_0^{\pi/2}sen^{2n+1}x\ dx={(2n)!!\over(2n+1)!!}}_{C.Q.D.}\)