Questão resolvida - 6 Questão_ Use integração por parte para resolver as seguintes integrais_ Letras c) e d) - Cálculo II - UFBA

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Tiago Lima - Instagram: @professor_disciplinas_exatas
 
• Use integração por parte para resolver as seguintes integrais:
 
c) xcos x dx∫ 2( )
 
Resolução:
 
Vamos aplicar integral por partes, a definição de integral por partes é;
 
udv = uv - vdu∫ ∫
Temos que:
 
udv = xcos x dx∫ ∫ 2( )
Assim;
 
u = x du = dx→
 
dv = cos x dx v = cos x dx2( ) → ∫ 2( )
Para a resolução dessa integral vamos usar a seguinte substituição trigonométrica;
 
cos x = +2( )
cos 2x
2
( ) 1
2
 
Assim, a integral fica;
 
v = cos x dx = v = + dx = dx + dx∫ 2( ) ∫ cos 2x
2
( ) 1
2
∫cos 2x
2
( ) ∫1
2
Resolvendo as integrais separadamente;
 
dx =∫1
2
x
2
 
dx = cos 2x dx; u = 2x du = 2dx = dx∫cos 2x
2
( ) 1
2
∫ ( ) → → du
2
 
 
cos u = ⋅ sen u = sen 2x
1
2
∫ ( )du
2
1
2
1
2
( )
1
4
( )
 
Temos, então que : v = sen 2x +
1
4
( )
x
2
Com isso, a integral fica;
 
xcos x dx = x sen 2x + - sen 2x + dx∫ 2( ) 1
4
( )
x
2
∫ 1
4
( )
x
2
= x sen 2x + - sen 2x dx - dx = sen 2x + - sen 2x dx - xdx
1
4
( )
x
2
∫1
4
( ) ∫x
2
x
4
( )
x
2
2 1
4
∫ ( ) 1
2
∫
Vamos resolver as 2 integrais que surgiram separadamente;
 
xdx = =
1
2
∫ 1
2
x
2
2 x
4
2
 
sen 2x dx; u = 2x du = 2dx = dx
1
4
∫ ( ) → → du
2
 
sen 2x dx = sen u = ⋅ -cos u = - cos 2x
1
4
∫ ( ) 1
4
∫ ( )du
2
1
4
1
2
( ( ))
1
8
( )
Finalmente, a integral fica;
 
xcos x dx = sen 2x + - - cos 2x -∫ 2( ) x
4
( )
x
2
2 1
8
( )
x
4
2
 
xcos x dx = sen 2x + + cos 2x - x + c∫ 2( ) x
4
( )
x
2
2 1
8
( )
1
4
2
 
 
d) sen x ln sec x dx∫ ( ) ( ( ))
 
Resolução:
 
Sabemos que a definição de integral por partes é;
 
 
 
(Resposta )
udv = uv - vdu∫ ∫
 
Primeiro, devemos reescrever a integral e fazer uma substituição, como visto na sequência;
 
sen x ln sec x dx = ln sen x dx; t = cos x dt = -sen x dx -dt = sen x dx∫ ( ) ( ( )) ∫ 1
cos x( )
( ) ( ) → ( ) → ( )
Substituindo, fica : ln sen x dx = ln - dt = - ln dt = - ln t dt∫ 1
cos x( )
( ) ∫ 1
t
∫ 1
t
∫ -1
= - - ln t dt = ln t dt∫ ( ) ∫ ( )
 
Agora, vamos empregar a integral por substituição;
 
udv = ln t dt∫ ∫ ( )
 
u = ln t du = dt( ) →
1
t
 
dv = dt v = dt v = t→ ∫ →
Assim, temos que;
 
ln t dt = ln t t - t dt = ln t t - dt = ln t t - 1dt = ln t t - t + c∫ ( ) ( ) ∫ 1
t
( ) ∫t
t
( ) ∫ ( )
 
Como , temos que o resultado da integral é;t = cos x( )
 
sen x ln sec x dx = ln cos x cos x - cos x + c∫ ( ) ( ( )) ( ( )) ( ) ( )
 
 
(Resposta )