Para minimizar a quantidade de material usada na fabricação da lata (ou seja, minimizar a área de superfície total) dado um volume fixo, devemos encontrar a altura \( h \) e o raio \( r \) do cilindro que minimizam a área total, respeitando o volume constante. Passo 1: Definir as fórmulas - Volume do cilindro: \[ V = \pi r^2 h \] - Área de superfície total (lateral + duas bases): \[ A = 2\pi r h + 2\pi r^2 \] Passo 2: Expressar \( h \) em função de \( r \) usando o volume constante \[ h = \frac{V}{\pi r^2} \] Passo 3: Substituir \( h \) na fórmula da área \[ A(r) = 2\pi r \cdot \frac{V}{\pi r^2} + 2\pi r^2 = \frac{2V}{r} + 2\pi r^2 \] Passo 4: Minimizar \( A(r) \) derivando e igualando a zero \[ A'(r) = -\frac{2V}{r^2} + 4\pi r = 0 \] \[ 4\pi r = \frac{2V}{r^2} \implies 4\pi r^3 = 2V \implies 2\pi r^3 = V \] Passo 5: Resolver para \( r \) \[ r^3 = \frac{V}{2\pi} \implies r = \sqrt[3]{\frac{V}{2\pi}} \] Passo 6: Calcular \( h \) \[ h = \frac{V}{\pi r^2} = \frac{V}{\pi \left(\sqrt[3]{\frac{V}{2\pi}}\right)^2} = \frac{V}{\pi} \cdot \left(\frac{2\pi}{V}\right)^{2/3} = 2 \sqrt[3]{\frac{V}{2\pi}} = 2r \] Conclusão: - O raio que minimiza a área é \[ r = \sqrt[3]{\frac{V}{2\pi}} \] - A altura correspondente é \[ h = 2r \] Ou seja, para usar a menor quantidade de material, a altura deve ser o dobro do raio.