Encontre o conjunto solução da inequação abaixo, apresentando todos os cálculos efetuados. ln((1 + x) / (1 − x)) > 0.

Vamos resolver a inequação passo a passo: Inequação: \[ \ln\left(\frac{1 + x}{1 - x}\right) > 0 \] Passo 1: Condições de existência do logaritmo O argumento do logaritmo deve ser positivo: \[ \frac{1 + x}{1 - x} > 0 \] Para que a fração seja positiva, numerador e denominador devem ser ambos positivos ou ambos negativos. - Caso 1: \[ 1 + x > 0 \implies x > -1 \] e \[ 1 - x > 0 \implies x < 1 \] Logo, para o caso 1: \[ -1 < x < 1 \] - Caso 2: \[ 1 + x < 0 \implies x < -1 \] e \[ 1 - x < 0 \implies x > 1 \] Não existe \(x\) que satisfaça simultaneamente \(x < -1\) e \(x > 1\), então descartamos. Portanto, domínio: \[ -1 < x < 1 \] Passo 2: Resolver a inequação Sabemos que \(\ln(y) > 0 \iff y > 1\), para \(y > 0\). Então: \[ \frac{1 + x}{1 - x} > 1 \] Passo 3: Resolver a desigualdade Multiplicamos ambos os lados por \(1 - x\), mas devemos analisar o sinal de \(1 - x\): - Se \(1 - x > 0 \implies x < 1\) (que está dentro do domínio), multiplicamos sem mudar o sinal: \[ 1 + x > 1 - x \] \[ 1 + x > 1 - x \] \[ x + x > 1 - 1 \] \[ 2x > 0 \] \[ x > 0 \] - Se \(1 - x < 0 \implies x > 1\), fora do domínio, descartamos. Passo 4: Interseção com o domínio Domínio: \(-1 < x < 1\) Solução da inequação: \(x > 0\) Interseção: \[ 0 < x < 1 \] Resposta final: \[ \boxed{(0, 1)} \] Esse é o conjunto solução da inequação.