Prova de Métodos Determinísticos II

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Fundação Centro de Ciências e Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro
Métodos Determińısticos II
Profª. Fernanda Mendonça e Prof. Rafael Lobosco
1o Semestre de 2024
AD1
CRITÉRIO DE CORREÇÃO
Questão 1: [3,0 pts] Considere as seguintes funções f : [0,+∞) → [0, 1) e g : R → R,
definidas respectivamente por f(x) =
x√
1 + x2
e g(x) = ex. Determine o que se pede em cada
um dos itens a seguir. Justifique todas as suas respostas.
a) Encontre o domı́nio da função f ◦ g.
b) Calcule (f ◦ g)(0), se existir.
c) Encontre a lei de formação de f−1.
Solução:
a) Observe que:
(f ◦ g)(x) = f(g(x)) = f(ex) =
ex√
1 + (ex)2
=
ex√
1 + e2x
.
Logo, f ◦ g está definida para todo número real, pois e2x > 0 para todo x ∈ R. Portanto,
Dom(f ◦ g) = R.
b) (f ◦ g)(0) = f(g(0)) =
e0
√
1 + e2·0
=
1√
1 + 1
=
1√
2
=
√
2
2
.
2
c) Como f é injetiva, então f é inverśıvel. Assim, seja f−1 : [0, 1) → [0, ,+∞). Para
encontrar a lei de formação de f−1, escreveremos x = f(y) e isolaremos a variável y na
expressão encontrada. Assim,
x =
y√
1 + y2
⇔ x2 =
(
y√
1 + y2
)2
⇔ x2 =
y2
1 + y2
⇔ x2(1 + y2) = y2 ⇔
⇔ x2 + x2y2 = y2 ⇔ x2 = y2 − x2y2 ⇔ x2 = y2(1− x2)⇔ x2
1− x2
= y2 ⇔
⇔ y =
|x|√
1− x2
=
x√
1− x2
, ∀x ∈ [0, 1).
Portanto, temos que lei de formação da função inversa de f é dada por f−1(x) =
x√
1− x2
.
Critério: Atribuir 1,0 (um ponto) em cada item pela resposta correta acrescida da justificativa
certa. Se o aluno apresentar somente a resposta final correta, sem justificar os cálculos ou com
justificativa incorreta, atribuir 0,2 (dois décimos). Atribuir nota zero se o estudante respondeu
de forma incorreta o item.
Questão 2: [2,0 pts] Encontre o conjunto solução da inequação abaixo, apresentando todos
os cálculos efetuados.
ln
(
1 + x
1− x
)
> 0.
Solução:
ln
(
1 + x
1− x
)
> 0⇔ 1 + x
1− x
> 1⇔ 1 + x
1− x
− 1 > 0⇔ 1 + x− (1− x)
1− x
> 0⇔ 2x
1− x
> 0
⇔ x > 0 ou x