Vamos responder passo a passo: a) Momento de inércia do disco em relação a um eixo que passa pelo seu centro geométrico: Para um disco uniforme de massa M e raio R, o momento de inércia em relação ao eixo que passa pelo seu centro e é perpendicular ao plano do disco é: \[ I_c = \frac{1}{2} M R^2 \] b) Período de oscilação do pêndulo físico: O pêndulo é preso a uma distância \( d = \frac{R}{3} \) do centro do disco. O momento de inércia em relação ao eixo de rotação, pelo Teorema dos Eixos Paralelos, é: \[ I = I_c + M d^2 = \frac{1}{2} M R^2 + M \left(\frac{R}{3}\right)^2 = \frac{1}{2} M R^2 + M \frac{R^2}{9} = \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{9}\right) M R^2 = \frac{9}{18} + \frac{2}{18} = \frac{11}{18} M R^2 \] O período do pêndulo físico é dado por: \[ T = 2\pi \sqrt{\frac{I}{M g h}} \] onde \( h \) é a distância do eixo de rotação ao centro de massa, que neste caso é \( d = \frac{R}{3} \). Substituindo: \[ T = 2\pi \sqrt{\frac{\frac{11}{18} M R^2}{M g \frac{R}{3}}} = 2\pi \sqrt{\frac{11}{18} \cdot \frac{R^2}{g \frac{R}{3}}} = 2\pi \sqrt{\frac{11}{18} \cdot \frac{3 R}{g}} = 2\pi \sqrt{\frac{11 R}{6 g}} \] Portanto: \[ T = 2\pi \sqrt{\frac{11 R}{6 g}} \] c) Distância \( d \) para o menor período possível: O período do pêndulo físico é: \[ T = 2\pi \sqrt{\frac{I_c + M d^2}{M g d}} = 2\pi \sqrt{\frac{I_c / M + d^2}{g d}} \] Para minimizar \( T \), minimizamos o argumento da raiz quadrada: \[ f(d) = \frac{I_c / M + d^2}{d} = \frac{I_c}{M d} + d \] Derivando em relação a \( d \) e igualando a zero para encontrar o mínimo: \[ f'(d) = -\frac{I_c}{M d^2} + 1 = 0 \Rightarrow 1 = \frac{I_c}{M d^2} \Rightarrow d^2 = \frac{I_c}{M} \Rightarrow d = \sqrt{\frac{I_c}{M}} \] Substituindo \( I_c = \frac{1}{2} M R^2 \): \[ d = \sqrt{\frac{1}{2} M R^2 / M} = \sqrt{\frac{1}{2}} R = \frac{R}{\sqrt{2}} \approx 0,707 R \] Resumo: - a) \( I_c = \frac{1}{2} M R^2 \) - b) \( T = 2\pi \sqrt{\frac{11 R}{6 g}} \) para \( d = \frac{R}{3} \) - c) \( d = \frac{R}{\sqrt{2}} \) para o menor período possível.