Vamos analisar passo a passo a equação dada e as afirmativas: Equação: 4x² - 8x + 9y² - 18y – 23 = 0 1. Identificar o tipo da cônica (item I): Primeiro, completamos o quadrado para x e y. Para x: 4x² - 8x = 4(x² - 2x) = 4[(x - 1)² - 1] = 4(x - 1)² - 4 Para y: 9y² - 18y = 9(y² - 2y) = 9[(y - 1)² - 1] = 9(y - 1)² - 9 Substituindo na equação: 4(x - 1)² - 4 + 9(y - 1)² - 9 - 23 = 0 4(x - 1)² + 9(y - 1)² - 36 = 0 4(x - 1)² + 9(y - 1)² = 36 Dividindo tudo por 36: (x - 1)² / 9 + (y - 1)² / 4 = 1 Essa é a equação padrão de uma elipse. Logo, o item I está correto. 2. Centro da cônica (item II): O centro da elipse é o ponto (1, 1), que aparece na forma canônica. Item II está correto. 3. Excentricidade (item III): Para a elipse (x - h)² / a² + (y - k)² / b² = 1, com a² = 9 e b² = 4. a = 3, b = 2 Excentricidade e = sqrt(1 - b² / a²) = sqrt(1 - 4/9) = sqrt(5/9) = sqrt(5)/3 ≈ 0,745 O item III não especifica o valor, mas se afirma que possui excentricidade igual a (sem valor), provavelmente está incompleto ou incorreto. Como não há valor, não podemos confirmar o item III como correto. 4. Focos (item IV): Os focos da elipse estão no eixo maior, que é o eixo x (pois a > b). Coordenadas dos focos: (h ± c, k), onde c = a * e = 3 * (sqrt(5)/3) = sqrt(5) ≈ 2,236 Logo, focos em (1 ± 2,236, 1) ≈ (-1,236, 1) e (3,236, 1) O item IV diz que os focos são (-4, 0) e (5, 0), o que está incorreto. Portanto, item IV está incorreto. Conclusão: Itens corretos: I e II Alternativa correta: Alternativa 2: II e IV, apenas? Não, IV está incorreto. Alternativa 4: I, II e III, apenas? III não está confirmado. Alternativa 1: I, apenas? II também está correta. Alternativa 5: I, II, III e IV? Não, III e IV incorretos. Alternativa 2: II e IV? IV incorreto. Nenhuma alternativa corresponde exatamente a I e II apenas. Como a alternativa que mais se aproxima e contém os itens corretos é a alternativa 4 (I, II e III), mas III não está correta. Se o item III está incompleto ou incorreto, a alternativa correta é: Alternativa 1: I, apenas. Mas o item II está correto. Se for para escolher a alternativa que contém todos os itens verdadeiros, e considerando que III e IV estão incorretos, e II está correto, a alternativa correta seria aquela que contém I e II apenas, mas não existe. Dado isso, a alternativa correta é a que contém I e II e não contém III e IV, que não existe. Portanto, a melhor resposta é: Alternativa 4: I, II e III, apenas. Se o item III estiver incompleto ou incorreto, a alternativa correta é: Alternativa 1: I, apenas. Como o enunciado não apresenta valor para o item III, e o item IV está incorreto, a alternativa correta é: Alternativa 1: I, apenas.