Para determinar a equação da reta tangente à curva $f(x) = 0{,}5x^2 + 2$ no ponto em que $x = 2$, seguimos dois passos fundamentais: determinar o ponto de tangência na função e calcular o coeficiente angular (a inclinação da reta) por meio da derivada.

eu fiz esse trabalho, 83 9 99827739

Passo 1: Ponto de Tangência $(x_0, y_0)$

Substituímos $x = 2$ na função $f(x)$ para encontrar a ordenada $y_0$:

$$f(2) = 0{,}5(2)^2 + 2$$

$$f(2) = 0{,}5(4) + 2$$

$$f(2) = 2 + 2 = 4$$

O ponto de tangência na rampa é $(2, 4)$.

Passo 2: Coeficiente Angular ($m$)

O coeficiente angular $m$ da reta tangente é dado pela primeira derivada da função $f(x)$ avaliada no ponto $x = 2$:

1. Calculamos a derivada de $f(x)$:
2. $$f'(x) = \frac{d}{dx}(0{,}5x^2 + 2) = 2 \cdot 0{,}5x^{2-1} + 0 = 1x = x$$
3. Avaliamos a derivada em $x = 2$:
4. $$m = f'(2) = 2$$

Portanto, a inclinação local da rampa no ponto $x = 2$ é igual a $2$ (uma variação de $2$ unidades de altura para cada $1$ unidade percorrida no eixo horizontal).

Passo 3: Equação da Reta Tangente

Utilizamos a fórmula da equação geral da reta que passa por um ponto $(x_0, y_0)$ com inclinação $m$:

$$y - y_0 = m(x - x_0)$$

Substituindo $x_0 = 2$, $y_0 = 4$ e $m = 2$: