Claro! Vamos resolver passo a passo. Problema: Dois dados não viciados são lançados. \(X\) é a variável aleatória que representa o menor dos dois números obtidos. --- ### 1. Espaço amostral e possíveis valores de \(X\) - Cada dado tem valores de 1 a 6. - O menor valor \(X\) pode ser de 1 a 6. --- ### 2. Distribuição de probabilidade de \(X\) Para cada valor \(k = 1, 2, ..., 6\), queremos \(P(X = k)\), ou seja, a probabilidade de que o menor número dos dois dados seja exatamente \(k\). - Total de pares possíveis: \(6 \times 6 = 36\). - Para \(X = k\), o menor número é \(k\), então: - Ambos os números são \(\geq k\). - Pelo menos um dos números é igual a \(k\). Logo, \[ P(X = k) = P(\text{menor} = k) = P(\text{ambos} \geq k) - P(\text{ambos} \geq k+1) \] Sabemos que: \[ P(\text{ambos} \geq k) = \left(\frac{7 - k}{6}\right)^2 \] porque os números possíveis são \(k, k+1, ..., 6\), total de \(7 - k\) valores. Para \(k=6\), \(P(\text{ambos} \geq 7) = 0\). Calculando para cada \(k\): - \(k=1\): \[ P(X=1) = \left(\frac{6}{6}\right)^2 - \left(\frac{5}{6}\right)^2 = 1 - \frac{25}{36} = \frac{11}{36} \] - \(k=2\): \[ P(X=2) = \left(\frac{5}{6}\right)^2 - \left(\frac{4}{6}\right)^2 = \frac{25}{36} - \frac{16}{36} = \frac{9}{36} = \frac{1}{4} \] - \(k=3\): \[ P(X=3) = \left(\frac{4}{6}\right)^2 - \left(\frac{3}{6}\right)^2 = \frac{16}{36} - \frac{9}{36} = \frac{7}{36} \] - \(k=4\): \[ P(X=4) = \left(\frac{3}{6}\right)^2 - \left(\frac{2}{6}\right)^2 = \frac{9}{36} - \frac{4}{36} = \frac{5}{36} \] - \(k=5\): \[ P(X=5) = \left(\frac{2}{6}\right)^2 - \left(\frac{1}{6}\right)^2 = \frac{4}{36} - \frac{1}{36} = \frac{3}{36} = \frac{1}{12} \] - \(k=6\): \[ P(X=6) = \left(\frac{1}{6}\right)^2 - 0 = \frac{1}{36} \] --- ### 3. Média (Esperança) de \(X\) \[ E(X) = \sum_{k=1}^6 k \cdot P(X=k) \] \[ = 1 \cdot \frac{11}{36} + 2 \cdot \frac{9}{36} + 3 \cdot \frac{7}{36} + 4 \cdot \frac{5}{36} + 5 \cdot \frac{3}{36} + 6 \cdot \frac{1}{36} \] \[ = \frac{11}{36} + \frac{18}{36} + \frac{21}{36} + \frac{20}{36} + \frac{15}{36} + \frac{6}{36} = \frac{91}{36} \approx 2,53 \] --- ### 4. Variância de \(X\) Primeiro, calcule \(E(X^2)\): \[ E(X^2) = \sum_{k=1}^6 k^2 \cdot P(X=k) \] \[ = 1^2 \cdot \frac{11}{36} + 2^2 \cdot \frac{9}{36} + 3^2 \cdot \frac{7}{36} + 4^2 \cdot \frac{5}{36} + 5^2 \cdot \frac{3}{36} + 6^2 \cdot \frac{1}{36} \] \[ = \frac{11}{36} + \frac{36}{36} + \frac{63}{36} + \frac{80}{36} + \frac{75}{36} + \frac{36}{36} = \frac{301}{36} \approx 8,36 \] Agora, \[ Var(X) = E(X^2) - [E(X)]^2 = \frac{301}{36} - \left(\frac{91}{36}\right)^2 \] \[ = 8,36 - (2,53)^2 = 8,36 - 6,40 = 1,96 \] --- ### 5. Desvio padrão \[ \sigma_X = \sqrt{Var(X)} = \sqrt{1,96} \approx 1,4 \] --- ### Resumo final: | \(k\) | \(P(X=k)\) | |-------|------------| | 1 | 11/36 | | 2 | 9/36 | | 3 | 7/36 | | 4 | 5/36 | | 5 | 3/36 | | 6 | 1/36 | - \(E(X) \approx 2,53\) - \(Var(X) \approx 1,96\) - \(\sigma_X \approx 1,4\) Se precisar, posso ajudar a interpretar ou aplicar esses resultados!