Neste exercício, será determinada a velocidade da queda do topo da escada, uma vez que o pé da escada se afasta da parede a uma velocidade de:

\(\Longrightarrow v_x = 10 \space \mathrm {cm/s}\)   \(\rightarrow v_x = 0,1 \space \mathrm {m/s}\)

Sendo \(x\) a distância pé-parede, \(y\) a distância topo-chão e \(L=5 \space \mathrm {m}\) o comprimento da escada, pode-se ver que esses comprimentos formam um triângulo retângulo, com \(L\) sendo a hipotenusa. Portanto, pode-se escrever a seguinte equação:

\(\Longrightarrow x^2+y^2 = L^2\)   \((I)\)

Agora, será realizada a derivação da equação anterior em relação ao tempo \(t\). Com isso, tem-se a seguinte equação:

\(\Longrightarrow {d \over dt} x^2+{d \over dt}y^2 = {d \over dt}L^2\)

\(\Longrightarrow {d \over dx} x^2 ​{dx \over dt} ​ + {d \over dy}y^2 {dy \over dt} = 0\)

\(\Longrightarrow 2x ​{dx \over dt} ​ + 2y {dy \over dt} = 0\)

\(\Longrightarrow 2y {dy \over dt} = -2x ​{dx \over dt} \)

\(\Longrightarrow {dy \over dt} = -{x \over y} ​{dx \over dt} \)

O termo \(​{dx \over dt} \) é a variação da distância pé-parede ao longo do tempo, ou seja, é a velocidade \(v_x\). Analogamente, o termo \(​{dy \over dt} \) é a variação da distância topo-chão ao longo do tempo, ou seja, é a velocidade \(v_y\). Portanto, a equação anterior fica da seguinte forma:

\(\Longrightarrow v_y = -{x \over y} v_x\)  \((II)\)

Agora, a partir da equação \((I)\), pode-se escrever a seguinte equação:

\(\Longrightarrow y^2 = L^2 - x^2\)

\(\Longrightarrow y =\sqrt{ L^2 - x^2}\)    \((III)\)

Substituindo a equação \((III)\) na equação \((II)\), a equação resultante é:

\(\Longrightarrow v_y = -v_x{x \over \sqrt{ L^2 - x^2} }\)

Substituindo \( v_x = 0,1 \space \mathrm {m/s}\) e \(L=5 \space \mathrm {m}\) na equação anterior, a equação de \(v_y\) se torna dependende de apenas uma variável, conforme apresentada a seguir:

\(\Longrightarrow \fbox {$ v_y = -0,1{x \over \sqrt{ 25 - x^2} } $}\)

Nota-se que a velocidade da queda do topo da escada não é constante.