Demonstrar que o segmento de extremos nos pontos médios dos lados não-paralelos de um trapézio é paralelo às bases e igual à sua semi-soma.

Claro! Vamos demonstrar passo a passo que o segmento que une os pontos médios dos lados não paralelos de um trapézio é paralelo às bases e tem comprimento igual à semi-soma das bases. Dados: - Trapézio \(ABCD\) com \(AB \parallel DC\). - \(M\) e \(N\) são os pontos médios dos lados não paralelos \(AD\) e \(BC\), respectivamente. Objetivo: Mostrar que o segmento \(MN\) é paralelo a \(AB\) e \(DC\) e que: \[ MN = \frac{AB + DC}{2} \] --- ### Passo 1: Representação vetorial Considere os vetores dos pontos: - \( \vec{A} \), \( \vec{B} \), \( \vec{C} \), \( \vec{D} \). Como \(M\) e \(N\) são pontos médios: \[ \vec{M} = \frac{\vec{A} + \vec{D}}{2}, \quad \vec{N} = \frac{\vec{B} + \vec{C}}{2} \] --- ### Passo 2: Vetor do segmento \(MN\) \[ \vec{MN} = \vec{N} - \vec{M} = \frac{\vec{B} + \vec{C}}{2} - \frac{\vec{A} + \vec{D}}{2} = \frac{(\vec{B} - \vec{A}) + (\vec{C} - \vec{D})}{2} \] --- ### Passo 3: Paralelismo Como \(AB \parallel DC\), os vetores \(\vec{B} - \vec{A}\) e \(\vec{C} - \vec{D}\) são paralelos. Logo, a soma \((\vec{B} - \vec{A}) + (\vec{C} - \vec{D})\) também é paralela a \(AB\) e \(DC\). Portanto, \(\vec{MN}\) é paralelo às bases. --- ### Passo 4: Comprimento de \(MN\) O comprimento de \(MN\) é: \[ |MN| = \left| \frac{(\vec{B} - \vec{A}) + (\vec{C} - \vec{D})}{2} \right| = \frac{|AB| + |DC|}{2} \] Porque os vetores são paralelos e na mesma direção, o módulo da soma é a soma dos módulos. --- ### Conclusão: O segmento que une os pontos médios dos lados não paralelos de um trapézio é paralelo às bases e seu comprimento é igual à semi-soma das bases: \[ MN \parallel AB \parallel DC \quad \text{e} \quad MN = \frac{AB + DC}{2} \] --- Se precisar, posso ajudar com um desenho ou mais detalhes!