Pode o advogado examinar , em cartório de fórum e secretaria de tribunal, mesmo sem procuração, autos de qualquer processo, independente de sua fase?

Sobre os direitos do advogado, o inciso XIII do art. 7º do Estatuto da OAB:

"XIII - examinar em qualquer órgão dos Poderes Judiciário e Legislativo, ou na Administração Pública em geral, autos de processos findos ou em andamento, mesmo sem procuração, quando não estejam sujeitos a sigilo, assegurada a obtenção de cópias, podendo tomar apontamentos."

Então, desde que não esteja sob sigilo, você pode examinar, tirar cópias e fazer apontamentos. Porém, se tiver sob sigilo você precisará de procuração.

Sim. Devemos ter cuidado apenas com o segredo de justiça ou sigilo das informações, sendo certo que nesses casos a procuração será exigida.

"Art. 7º. São direitos do advogado:

[...]

XIII - examinar, em qualquer órgão dos Poderes Judiciário e Legislativo, ou da Administração Pública em geral, autos de processos findos ou em andamento, mesmo sem procuração, quando não estiverem sujeitos a sigilo ou segredo de justiça, assegurada a obtenção de cópias, com possibilidade de tomar apontamentos;    "