como fazer escalonamento de sistemas lineares

Existe a forma algébrica e também a forma matricial. Costumo usar a forma matricial, então é só pegar o sistema, colocar em forma de matriz e escalonar.Na matriz, você pode fazer a Eliminação Gaussiana ou a eliminação de Gauss-Jordan. Consiste em você colocar um pivô( número 1) em a11,a22,a33 (...) e zerar o que está em baixo do pivô fazendo operações entre as linhas. Procura entender direitinho cada uma das formas e aí você pode escolher qual deseja usar para resolver o sistema.

Cara, escalonamento é um método para facilitar a resolução de um sistema linear. Digamos que tu tennhas isso:
3x + 2y=11 - equacao 1
2x + 7y=13 - equacao 2

Escalonar esse sistema é cancelar o x ou o y para que uma equação fique somente com uma incógnita. Se voce substituir a equacao 1 por meio da seguinhe operacao de linha:

equacao 1=equacao 1 -equacao 2

O novo sistema sera:

1x - 5y =-2 - equacao 1
2x + 7y=13 - equacao 2

Agora, todas as linhas abaixo da linha 1 podem ter seu x cancelado com opecao simples de linha, pois tens 1 como coeficiente de x da equacao 1, entao é so fazer a seguinte operacao para cancelar o x na equacao 2:

equacao 2=equacao 2 - 2*equacao 1

e o sistema escalonado ficará:

1x - 5y =-2 - equacao 1
     17y=17 - equacao 2

Com esse sistema escalonado, fica fácil resolvelo, pois da ultima linha para cima ja tens o resultado da incognita x, agora é so trocar.

O escalonamento fica mais facil quando se trabalha com matrizes, entao voce poderia ter um sistema com 4 incognitas em uma matriz, e escalonando voce descobre o valor de z, ai depois o de w , depois o de y e por ultimo o de x:

|a b c d| A|
|   e f g| B|
|      h i| C|
|         j| D|

os coeficientes a, e e h tem que ser 1, pois eles são os pivôs e servem para ir cancelando as equacoes embaixo.
Se tiveres mais duvida, procura um video no youtube sobre escalonamento de matrizes, é bem facil de entender e depois que entenderes nao vais mais esquecer

Abraço!

Para escalonar uma matriz, você deve fazer diversas manipulações matemáticas na matriz até que ela fique com o triangulo abaixo da diagonal igual a zero: \(M = \begin{bmatrix} a & b & c \\[0.3em] 0&d & e \\[0.3em] 0 & 0 &f \end{bmatrix}\). Alguns métodos que podem ser utilizados são:

1) Trocar equações de posição

2)Multiplicar todos os termos de uma equação pelo mesmo número real diferente de zero.

3)Somar uma equação a outra do sistema