Como calcular a integral por parte de ∫x sen5x dx

Tem que fazer por partes, seja u = x e dv = sen 5x, du = dx e v = -(cos 5x)/5

∫ xsen5x dx = uv - ∫vdu = (x/5)(-cos 5x) + (1/5)∫ cos 5x dx = (x/5)(-cos 5x) + (1/5)(sen 5x)(1/5) = (x/5)(-cos 5x) + (1/25)(sen 5x)

Para calcular a integral:

\(\int x\sin(5x) dx\)

Vamos aplicar o método de integração por partes. Onde este é da forma:

\(\int udv=uv-\int vdu\)

Assim, sendo neste caso:

\(u=x\) e \(dv=\sin(5x)dx\)

Então temos, que:

\(du=dx\) e \(v=-\frac{\cos(5x)}{5}\), 

logo, podemos escrever:

\(\int x\sin(5x) dx=\\ =-\frac{x\cos(5x)}{5}+\int \frac{\cos(5x)}{5}dx \\=-\frac{x\cos(5x)}{5}+\frac{\sin(5x)}{25} +C\)

Onde C é uma constante real.