séries

Primeiro devemos obsevar a serie converge de fato para algum valor pelo teste do enesímo termo, calculando o limite.

lim 4^(-n) quando n tende a infinito o limite equivale a 0, e nada poderemos concluir utilizando esse teste.

Observemos entao que essa serie pode ser escrita da forma:

∑ (1/4)^n = ∑ (1/4)^n . (1/4)^(-5) / (1/4)^(-5) = ∑ [(1/4)^(n-5)] . (1/4)^5

Agora temos um serie geometrico da forma ∑ a . r^(n-5)

Assim com |r|<1 a serie converge e converge ára um valor k = a / (1 - r)

k = [(1/4)^5] / [1 - (1/4)]

k = (1/1024) / (3/4) = 1/768

A série é:

\(\Longrightarrow \sum_{k=5}^{\infty}\, 4^{(-k)}=4^{-5} + 4^{-6} + 4^{-7} + ... + 4^{-\infty}\)

Trata-se de uma progressão geométrica (PG) cujo valor inicial é \(a_1 = 4^{-5}\) e cuja razão é \(q=4^{-1}\). Portanto, para \(n=\infty\) termos, a soma dessa PG é:

\(\Longrightarrow S_n = a_1{q^n - 1 \over q-1 } \)

\(\Longrightarrow S_n = 4^{-5} \, {(4^{-1})^{\infty } - 1 \over 4^{-1}-1 } \)

\(\Longrightarrow S_n = {1 \over 1.024} \cdot {0 - 1 \over 0,25-1 } \)

\(\Longrightarrow S_n = {1 \over 1.024} \cdot { - 1 \over -0,75 } \)

\(\Longrightarrow \fbox {$ S_n = 0,0013 $}\)