A integral indefinida ∫dxxcos(lnx) tem sua solução através da utilização de uma substituição para reduzí-la à forma padrão.

Olá,

Resolvendo obtive este resultado:https://www.passeidireto.com/arquivo/21901297/resolucao---integral-por-partes-xcosx.

Espero que esteja correto. Bons estudos!

Neste exercício, será resolvida a seguinte integral indefinida:

\(\Longrightarrow \int x \cos( \ln x) \, dx\)

Será usado o método da substituição, cuja equação está apresentada a seguir:

\(\Longrightarrow \int u \, dv = uv - \int v \, du\)

Considerando \(u_1 = \cos( \ln x)\) e \(dv_1 = x \, dx\), tem-se o seguinte:

\(\Longrightarrow \left \{ \begin{matrix} {du_1 \over dx} = {d \over dx}( \cos ( \ln x)) \\ v_1 = \int x \, dx \end{matrix} \right.\)  \(\rightarrow \left \{ \begin{matrix} {du_1 \over dx} = -\sin ( \ln x) \cdot {d \over dx}(\ln x) \\ v_1 = {1 \over 1+1}x^{1+1} \end{matrix} \right.\)    \(\rightarrow \left \{ \begin{matrix} du_1= -\sin ( \ln x) {1 \over x}dx \\ v_1 = {1 \over 2}x^{2} \end{matrix} \right.\)

Com isso, tem-se a seguinte equação:

\(\Longrightarrow \int u_1 \, dv_1 = u_1v_1 - \int v_1 \, du_1\)

\(\Longrightarrow \int x \cos(\ln x) \,dx = \cos( \ln x)\cdot {1 \over 2}x^2 - \int {1 \over 2}x^2 (-\sin(\ln x){1 \over x}\, dx)\)

\(\Longrightarrow \int x \cos(\ln x) \,dx = {1 \over 2}x^2 \cos( \ln x) + {1 \over 2} \int x \sin(\ln x)\, dx\)    \((I)\)

Agora, será resolvida a integral \(\int x \sin(\ln x)\, dx\), presente na equação \((I)\). Com \(u_2 = \sin( \ln x)\) e \(dv_2 = x \, dx\), tem-se o seguinte:

\(\Longrightarrow \left \{ \begin{matrix} {du_2 \over dx} = {d \over dx}( \sin ( \ln x)) \\ v_2 = \int x \, dx \end{matrix} \right.\)   \(\rightarrow \left \{ \begin{matrix} {du_2 \over dx} = \cos ( \ln x) \cdot {d \over dx}(\ln x) \\ v_2 = {1 \over 1+1}x^{1+1} \end{matrix} \right.\)    \(\rightarrow \left \{ \begin{matrix} du_2 = \cos ( \ln x){1 \over x} dx\\ v_2 = {1 \over 2}x^{2} \end{matrix} \right.\)

Com isso, a equação \((I)\) fica da seguinte forma:

\(\Longrightarrow \int u_2 \, dv_2 = u_2 v_2 - \int v_2 \, du_2\)

\(\Longrightarrow \int x \sin(\ln x)\, dx = \sin ( \ln x) \cdot {1 \over 2}x^2 - \int {1 \over 2}x^2 \cos ( \ln x){1 \over x} dx\)

\(\Longrightarrow \int x \sin(\ln x)\, dx = {1 \over 2}x^2 \sin ( \ln x) - {1 \over 2}\int x \cos ( \ln x) \,dx\)    \((II)\)

Substituindo a equação \((II)\) na equação \((I)\), a equação resultante é:

\(\Longrightarrow \int x \cos(\ln x) \,dx = {1 \over 2}x^2 \cos( \ln x) + {1 \over 2} \Big [ \int x \sin(\ln x)\, dx \Big ]\)

\(\Longrightarrow \int x \cos(\ln x) \,dx = {1 \over 2}x^2 \cos( \ln x) + {1 \over 2} \Big [ {1 \over 2}x^2 \sin ( \ln x) - {1 \over 2}\int x \cos ( \ln x) \,dx \Big ]\)

\(\Longrightarrow \int x \cos(\ln x) \,dx = {1 \over 2}x^2 \cos( \ln x) + {1 \over 4}x^2 \sin ( \ln x) - {1 \over 4}\int x \cos ( \ln x) \,dx\)

Portanto, a integral indefinida \( \int x \cos( \ln x) \, dx\) é:

\(\Longrightarrow \int x \cos(\ln x) \,dx +{1 \over 4}\int x \cos ( \ln x) \,dx= {1 \over 2}x^2 \cos( \ln x) + {1 \over 4}x^2 \sin ( \ln x) \)

\(\Longrightarrow {5 \over 4}\int x \cos ( \ln x) \,dx= {1 \over 2}x^2 \cos( \ln x) + {1 \over 4}x^2 \sin ( \ln x) \)

\(\Longrightarrow \int x \cos ( \ln x) \,dx= {4 \over 5}{1 \over 2}x^2 \cos( \ln x) + {4 \over 5}{1 \over 4}x^2 \sin ( \ln x) \)

\(\Longrightarrow \int x \cos ( \ln x) \,dx= {2 \over 5}x^2 \cos( \ln x) + {1 \over 5}x^2 \sin ( \ln x) \)

Concluindo, a resposta final é:

\(\Longrightarrow \fbox {$ \int x \cos ( \ln x) \,dx= {1 \over 5}x^2 \Big [ 2 \cos( \ln x) + \sin ( \ln x) \Big ] + c $}\)

Sendo \(c\) uma constante qualquer.