QUAL SERIA A RESPOSTA ??

Cos t

Neste exercício, será determinada a curvatura para uma dada função \(r(t)\). Essa função está apresentada a seguir:

\(\Longrightarrow r(t)=[\ln{(\sec t)}]i+[t]j\)

A curvatura de \(r(t)\) é encontrada pela seguinte expressão:

\(\Longrightarrow \int ||r^{'}(t)|| \space dt\)    \((I)\)

Primeiro, é necessário derivar a função \(r(t)\). Portanto, a equação de \(r^{'}(t)\) é:

\(\Longrightarrow r^{'}(t) = {d \over dt} \Big[\ln{(\sec t)} \Big]i+{d \over dt}[t]j \)

\(\Longrightarrow r^{'}(t) = \bigg [{1 \over \sec t}{d \over dt}{(\sec t)}\bigg ]i + [1]j\)

\(\Longrightarrow r^{'}(t) = \bigg [{1 \over \sec t}{(\sec t \cdot \tan t)}\bigg ]i + [1]j\)

\(\Longrightarrow r^{'}(t)= (\tan t)i + (1) j\)

Agora, é necessário encontrar o módulo da função \(r^{'}(t)\). Portanto:

\(\Longrightarrow || r^{'}(t) ||=\sqrt { \tan^2 t+1^2}\)

\(\Longrightarrow || r^{'}(t) ||=\sqrt { \sec^2 t}\)

\(\Longrightarrow || r^{'}(t) ||= \sec t\)

Substituindo a equação anterior na equação \((I)\), a expressão resultante é:

 \(\Longrightarrow \int ||r^{'}(t)|| \space dt\)

\(\Longrightarrow \int \sec t \space dt\)

\(\Longrightarrow \int \sec t \Big ( { \sec t + \tan t \over \sec t + \tan t} \Big ) \space dt\)

\(\Longrightarrow \int { \sec^2 t + \sec t \cdot \tan t \over \sec t + \tan t} \space dt\)      \((II)\)

Para resolver a integral anterior, será utilizado o método da substituição. Sendo \(u = \sec t + \tan t\), tem-se que:

\(\Longrightarrow {du \over dt} = {d \over dt}(\sec t + \tan t)\)

\(\Longrightarrow {du \over dt} = \sec t \tan t+ \sec^2 t\)

\(\Longrightarrow du=( \sec t \tan t+ \sec^2 t) \space dt\)

Substituindo os termos na expressão \((II)\), a expressão resultante é:

\(\Longrightarrow \int ||r^{'}(t)|| \space dt = \int { \color{Blue}{\sec^2 t + \sec t \cdot \tan t } \over \color{Red}{\sec t + \tan t }} \space \color{Blue}{ dt }\)

\(\Longrightarrow \int ||r^{'}(t)|| \space dt = \int { 1 \over \color{Red}{u }} \color{Blue}{ du }\)

\(\Longrightarrow \int ||r^{'}(t)|| \space dt = \ln |u|\)

Finalmente, substituindo \(u = \sec t + \tan t\) na equação anterior, a curvatura de \(r(t)\) é:

\(\Longrightarrow \fbox {$ \int ||r^{'}(t)|| \space dt = \ln| \sec t + \tan t | $}\)

A resposta correta não está presente em nenhuma das alternativas.