Calculo III - Calculo de Área

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Temos um problema que envolve a área de um retângulo. Vamos supor que o valor \(a\) seja a medida das laterais e que \(b\) seja a medida da base (e também do topo da página). Portanto, a área total \(A_{total} \) da página é:

\(\Longrightarrow A_{total} = ab\)

\(\Longrightarrow 90 = ab\)

Portanto, a área \(A_{base}\) da margem da base é:

\(\Longrightarrow A_{base}=1\cdot b\)

\(\Longrightarrow A_{base}=b\)

E a área \(A_{lat}\) da margem de uma das laterais é:

\(\Longrightarrow A_{lat}=a\cdot 1\)

\(\Longrightarrow A_{lat}=a\)

E a área \(A_{topo}\) da margem do topo é:

\(\Longrightarrow A_{topo}={1 \over 2}\cdot b\)

\(\Longrightarrow A_{topo}=0,5 b\)

Portanto, a área total \(A_{margem}\) das margens da página é:

\(\Longrightarrow A_{margem} = A_{base} + 2A_{lat} + A_{topo}-A_{intersecao}\)

\(\Longrightarrow A_{margem} = b + 2a+ 0,5b-A_{intersecao}\)

\(\Longrightarrow A_{margem} = 2a+ 1,5b-A_{intersecao}\)      \((I)\)

Note que as áreas das margens possuem zonas em comum, que são os cantos da página. Portanto, temos que subtrair \(A_{intersecao}\), que representa as zonas de interseção das margens.

Note que o valor de \(A_{intersecao}\) é constante para quaisquer valores de \(a\) e \(b\).

Através da equação de \(A_{total} \), tem-se que:

\(\Longrightarrow 90 = ab\)

\(\Longrightarrow b = {90 \over a}\)       \((II)\)

Substituindo a equação \((II)\) em \((I)\), a equação resultante é:

\(\Longrightarrow A_{margem} = 2a+ 1,5b-A_{intersecao}\)

\(\Longrightarrow A_{margem} = 2a+ 1,5\cdot {90 \over a}-A_{intersecao}\)

\(\Longrightarrow A_{margem} = 2a+ {135 \over a}-A_{intersecao}\)

Agora, o valor de \( A_{margem} \) depende apenas da variável \(a\).

Com a equação resultante, deve-se achar o valor de \(a\) que minimiza o valor de \( A_{margem} \). Ou seja, deve-se achar o valor de \(a\) no qual a derivada de \( A_{margem} \) é zero, ou seja:

\(\Longrightarrow {d A_{margem} \over da}=0\)

Portanto, tem-se que:

\(\Longrightarrow {d \over da}(2a+ {135 \over a}-A_{intersecao})=0\)

\(\Longrightarrow 2- {135 \over a^2} + 0=0\)

Note que, como \(A_{intersecao}\) é independente de \(a\), sua derivada é zero.

Portanto, a medida \(a\) das laterais da página é, aproximadamente:

\(\Longrightarrow 2= {135 \over a^2}\)

\(\Longrightarrow a^2= {135 \over 2}\)

\(\Longrightarrow a=8,2158''\)

Obs: Para provar que \( a=8,2158\) é um ponto de mínimo de \( A_{margem} \), o valor de \(a\) deve atender à seguinte inequação:

\(\Longrightarrow {d^2 A_{margem} \over da^2}>0\)

Portanto, tem-se que:

\(\Longrightarrow {d\over da}(2- {135 \over a^2})>0\)

\(\Longrightarrow 0- (-2){135 \over a^3}>0\)

\(\Longrightarrow 2{135 \over a^3}>0 \,\,\,\,\,\,\mbox {(Verdadeiro)}\)

Portanto, voltando à equação \((II)\), a medida \(b\) da base (e também do topo da página) é, aproximadamente:

\(\Longrightarrow b = {90 \over a}\)

\(\Longrightarrow b = {90 \over 8,2158}\)

\(\Longrightarrow b = 10,9545''\)

Concluindo, para área impressa máxima, as dimensões das laterais e da base da página são, respectivamente:

\(\Longrightarrow \fbox {$ \left \{ \begin{matrix} a=8,2158'' \\ b=10,9545'' \end{matrix} \right. $}\)