ESCREVA AS SEGUINTES SERIES NA FORMA ABREVIADA (COM SOMATORIO)

Somatorio de n=0 a +infinito de (2^n)/(2n+3) 

Para escrever a série como um somatório, temos que determinar o termo geral da sequência, observando-a:

\(S={1\over3} + {2\over5} + {4\over 7} + {8\over9} + {16\over11}\cdots\)

Perceba que o numerador são potências de 2 e o denominador são números ímpares consecutivos, de forma que podemos reescrevê-la da seguinte forma:

\(\begin{align} S&={2^0\over2\cdot1+1} + {2^1\over2\cdot2+1} + {2^2\over 2\cdot3+1} + {2^3\over2\cdot4+1} + {2^4\over2\cdot5+1}\cdots\\ &={2^{1-1}\over2\cdot1+1} + {2^{2-1}\over2\cdot2+1} + {2^{3-1}\over 2\cdot3+1} + {2^{4-1}\over2\cdot4+1} + {2^{5-1}\over2\cdot5+1}\cdots\\ \end{align}\)

Observando a série escrita dessa forma conseguimos determinar o termo geral da sequência:

\(a_k={2^{k-1}\over2k+1}\)

Escrevendo em forma de somatório, temos:

\(\boxed{{1\over3} + {2\over5} + {4\over 7} + {8\over9} + {16\over11}\cdots=\sum\limits_{k=1}^\infty{2^{k-1}\over2k+1}}\)