Formou-se gelo em um pequeno lago e o regime estacionário foi atingido com o ar acima do gelo a −5,0 ◦C e o fundo do lago a 4,0 ◦C

Para resolver este problema, devemos colocar em prática nosso conhecimento sobre Térmica, mais especificamente sobre condutibilidade térmica.

Neste contexto, a define-se condutibilidade térmica de um material homogéneo como a quantidade de calor por unidade de tempo que atravessa uma camada de espessura e de área unitárias desse material por unidade de diferença de temperatura entre as suas duas faces. Deste modo, a condutibilidade térmica representa a facilidade de transferência de calor no material.

Neste contexto, para determinar a espessura do gelo, devemos impor o equilíbrio:

\(k_{\text{água}}\cdot e_{\text{água}}\cdot \Delta T_{\text{água}}=k_{\text{gelo}}\cdot e_{\text{gelo}}\cdot \Delta T_{\text{gelo}}\),

em que \(k\) é a condutividade térmica; \(e\) a espessura; e \(\Delta T\) a variação de temperatura.

No problema em questão, sabemos que \(k_{\text{água}}=\dfrac{0,12\text{ cal}}{\text{m}\cdot \text{°C}}\), \(k_{\text{gelo}}=\dfrac{0,40\text{ cal}}{\text{m}\cdot \text{°C}}\) e, admitindo que a água se solidifica à \(0\text{ °C}\) calcula-se que:

 \(\begin{align} \Delta T_{\text{água}}&=4,0\text{ °C}-0\text{ °C} \\&=4,0\text{ °C} \end{align}\)

\(\begin{align} \Delta T_{\text{gelo}}&=0\text{ °C}-(-5,0\text{ °C}) \\&=5,0\text{ °C} \end{align}\)

Daí, sabendo ainda que \(e_{\text{água}}+e_{\text{gelo}}=1,40\text{ m}\), pode-se escrever que: \(e_{\text{água}}=1,40\text{ m}-e_{\text{gelo}}\).

Substituindo tais dados na equação de equilíbrio, resulta que:

\(\begin{align} \dfrac{0,12\text{ cal}}{\text{m}\cdot \text{°C}}\cdot (1,40\text{ m}-e_{\text{gelo}})\cdot4,0\text{ °C}&=\dfrac{0,40\text{ cal}}{\text{m}\cdot \text{°C}}\cdot e_{\text{gelo}}\cdot 5,0\text{ °C} \\ 0,672\text{ cal}-\dfrac{0,48 \text{ cal}}{\text{ m}}\cdot e_{\text{gelo}}&=\dfrac{2,00\text{ cal}}{\text m}\cdot e_{\text{gelo}} \end{align}\)

Isolando a espessura do gelo, vem que:

\(\begin{align} e_{\text{gelo}}&=\dfrac{0,672\text{ cal}}{\frac{2,48\text{ cal}}{\text{ m}}} \\&=0,27\text{ m} \end{align}\)

Portanto, a espessura do gelo é de, aproximadamente, \(\boxed{0,27\text{ m}}\).

A fórmula para calcular a condutividade térmica de uma substância é:

Ct = L/A*(Tf - Ti)

Ct - condutividade térmica, L - comprimento (será a nossa profundidade), A - Área

Para o caso da água:

0,12 = La/Aa(5 -(-4)) => 1,08 = La/Aa

La - Profundidade da água, Aa - área da água

Para o caso do gelo:

0,4 = Lg/Ag(9) => 3,6 = Lg/Ag.

Lg - profundidade do gelo, Ag - área do gelo.

OBS: Lg + La = 1,4 m => Lg = 1,4 m - La

Mas, note que a área da água vai ser exatamente igual a área do gelo, isto porque se refere a área superficial, e no exercício mostra que podemos dizer quem está por cima e por baixo.

Fazendo Ag = Aa.

3,6 = (1,4 - La)/A (1)

1,08A = La (2)

Substituindo 2 em 1.

3,6 = (1,4 - 1,08A)/A => 3,6A + 1,08A = 1,4 => A = 0,3 m²

Substituindo este valor em (1):

3,6 = (1,4 - La)/0,3 => La = -3,6*0,3 + 1,4 = 0,32 m 

Lembrando que a profundidade do gelo é Lg = 1,4 - La

Lg = 1,4 m - 0,32 m = 1,08 m 

Podemos concluir da condutividade térmica o seguinte.

ct = L/A(Tf - Ti) = 0,4 = (1,4 - Ca)/Ag*9 => (1,4 - Ca)/Ag = 3,6

0,12 = Ca/Aa*9 => 1,08 = Ca/Aa => 1,08Aa = Ca

(1,4 - 1,08Aa) = 3,6Ag

Supondo Aa = Ag => 1,4 = 4,68 A => A = 0,3 m²

Ca = 1,08*0,3 = 0,32 m

Cg = 1,08 m