Encontraremos o volume do sólido através dos cálculos abaixo:

\(\begin{align} & V=\pi \int_{0}^{1}{{{x}^{2}}+2-x-1} \\ & V=\pi \left( \frac{{{x}^{2+1}}}{2+1}+x-\frac{{{x}^{1+1}}}{1+1} \right)_{0}^{1} \\ & V=\pi \left( \frac{{{x}^{3}}}{3}+x-\frac{{{x}^{2}}}{2} \right)_{0}^{1} \\ & V=\pi \left( \frac{{{1}^{3}}}{3}+1-\frac{{{1}^{2}}}{2} \right) \\ & V=\pi \left( \frac{1}{3}+1-\frac{1}{2} \right) \\ & V=0,83\pi \\ \end{align} \)

Portanto, o volume do sólido será de \(\boxed{V = 0,83\pi }\).