Uma empresa tem uma base atual de 200.000 clientes, sendo que 1XX.000 estão no Sudeste e o restante nas demais regiões do Brasil.

a) Os aumentos porcentuais são diferentes para cada região e devem ser aplicados somente na sua região. Se há 138.000 clientes no Sudeste, de um total de 200.000, há 200.000−138.000=62.000 clientes nas outras regiões.

Então basta calcular 15% de 138.000 e depois 8% de 64.000. Lembre-se que 15%=0,15 e que 8%=0,08

0,15⋅138.000=20.700

0,08⋅62.000=4.960

Aumento total: 20.700+4.960=25.660

b) O total de clientes ao final de um ano será a soma de quanto tinha inicialmente mais o aumento calculado no item a):

200.000+25.660=225.660

c) Para calcular o porcentual de aumento total de clientes devemos comparar o aumento de clientes (total) com o total de clientes que a empresa tinha. Podemos fazer uma regra de três:

200.00025.660=100%x%200.000x=2.566.000x=2.566.000200.000x=12,86%

Para responder este problema devemos aplicar conceitos de percentagem. Primeiramente, devemos notar que os crescimentos percentuais foram diferentes para cada região e, portanto, é necessário separar os clientes das mesmas. Assim, sabendo que há um total de \(200.000\) clientes e que destes, \(138.000 \) estão no sudeste, a quantidade de clientes nas demais regiões é de \(200.000 - 138.000=62.000\text{ clientes}\).

Daí, o  aumento total de clientes da empresa, ao final de um ano, é a soma de \(15 \text{ %}\) dos clientes do sudeste com \(8 \text{ %}\) dos clientes da demais regiões, isto é, denominado o aumento de \(A\):

\(\begin{align} A&=​​15 \text{ %} \cdot 138.000 + 8 \text{ %} \cdot 62.000 \\&=\dfrac{15}{100}\cdot 138.000+\dfrac{8}{100}\cdot 62.000 \\&=20.700+4.960 \\&=25.660 \text{ clientes} \end{align}\)

Logo, ao final de um ano a empresa obteve \(\boxed{ 25.660 \text{ clientes}}\) a mais.

Em consequência, o total de clientes ao final de um ano, \(T\), é dado pela soma da quantidade de clientes inicial com o aumento, ou seja:

\(\begin{align} T&=200.000+A \\&=200.000+25.660 \\&=225.660 \text{ clientes} \end{align}\)

Deste modo, ao final de um ano o total de clientes é de \(\boxed{225.660}\).

Por fim, para obter o percentual de aumento de clientes ao final de um ano, \(P\), basta dividir a quantidade total de clientes final pela inicial e subtrair \(1\text{ } (100\text{ %})\):

\(\begin{align} P&=\dfrac{225.660}{200000}-1 \\&=1,1283-1 \\&=0,1283 \\&=12,83\text{ %} \end{align}\)

Portanto, o aumento percentual de clientes em um ano foi de \(\boxed{12,83 \text{ %}}\).

Obs: Através de uma revisão bibliográfica encontrei que o total de clientes no sudeste era de \(138.000\). Sem esse dado não é possível resolver o problema.