Duas forças de intensidades iguais, F1 = F2 = 87 N, possuem uma resultante igual a 150 N. Calcule, aproximadamente, o ângulo entre as duas forças.

Fr²=F1²+F2²-2F1F2-COSY

150²=87²+87²-2*87*87*COSY

22500=15138-2*87*87*COSY

22500-15138=-2*87*87*COSY

7362=-15138*COSY

7362/15138=COSY

0,486325802=COSY

COSY-1(arqtg)=60,90062804°

O Ricardo Roch errou o sinal do ângulo, embora tenha acertado o sinal da conversão do arco no final, essa é para a Lei dos Cossenos.

Fr² = F1² + F2² + 2F1*F2*cos θ

Para responder este problema, vamos colocar em prática nossos conhecimento sobre decomposição de forças. Em especial, utilizaremos a Regra do Paralelogramo.

Sejam \(\vec {v_1}\) e \(\vec {v_2}\) dois vetores que formam um ângulo \(\theta\) entre si. Tais vetores formam um paralelogramo e o vetor resultante, \(\vec {v}\), consiste na diagonal e, desta forma, resulta que:

\(\begin{align} v^2&=v_1^2+v_2^2+v_1\cdot v_2\cdot \cos \theta \end{align}\)

A figura abaixo ilustra esse fato

Fonte: http://efisica.if.usp.br/mecanica/basico/vetores/somar/ (acesso 22 mai. 2018).

Assim, no problema em questão, denominando de \(F\) a força resultante, tem-se que:

\(\begin{align} F^2&=F_1^2+F_2^2+F_1\cdot F_2\cdot \cos \theta \end{align}\)

Substituindo os dados do problema, vem que:

\(\begin{align} 150^2&=87^2+87^2+87\cdot 87\cdot \cos \theta \end{align}\)

Isolando \(\cos \theta\) e realizando os cálculos:

\(\begin{align} \cos \theta&= \dfrac{150^2 - 87^2 - 87^2}{87\cdot 87} \\&= \dfrac{22.500 - 7569 - 7569}{7.569} \\&= \dfrac{7.352}{7.569} \\&= 0,9726 \end{align}\)

Por fim, aplicando \(\arccos\) em ambos os lados, encontra-se \(\theta =13,43°\).

Portanto, o ângulo entre as forças é de \(\boxed{13,43°}\).