Como aplicar os critérios de convergência para transformar um sistema em diagonalmente dominante?

Não consigo achar o sistema correto permutando as equações.

Cálculo Numérico

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FBV

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Vanessa Oliveira

26/10/2016

💡 2 Respostas

Importados BH

11.05.2018

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RD Resoluções

09.06.2018

Uma série $\sum a_n$ é chamada de absolutamente convergente se a série com os valores absolutos $\sum |a_n|$ é convergente. Ex.:

A série $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n^2} = 1 - \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} - \frac{1}{4^2} + ...$ é absolutamente convergente, pois a série:

$\sum_{n=1}^{\infty} \left|\frac{(-1)^{n-1}}{n^2} \right| = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} = 1 + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + ...$

Uma série $\sum a_n$ é chamada de condicionalmente convergente se for convergente, mas não absolutamente convergente. Ex.:

A série $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n} = 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + ...$ é convergente pelo critério das séries alternadas. Porém:

$\sum_{n=1}^{\infty} \left| \frac{(-1)^{n-1}}{n} \right| = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + ...$

não é convergente (série harmônica) pelo critério da comparação.

Logo, concluímos que a série $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n}$ não é absolutamente convergente.

Se uma série $\sum a_n$ é absolutamente convergente, então ela é convergente. Ex.:

Determine se a série $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\cos n}{n^2}$ é convergente ou divergente.

A série possui termos positivos e negativos em ordens aleatórias (não alternadas):

$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\cos n}{n^2} = \frac{\cos 1}{1^2} + \frac{\cos 2}{2^2} + \frac{\cos 3}{3^2} + \frac{\cos 4}{4^2} + \frac{\cos 5}{5^2} + ...$

$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\cos n}{n^2} = \frac{0,540}{1} + \frac{-0,416}{4} + \frac{-0,989}{9} + \frac{-0,6544}{16} + \frac{0,284}{25} + ...$

Podemos aplicar o critério de comparação com os valores absolutos:

$\sum_{n=1}^{\infty} \left| \frac{\cos n}{n^2} \right| = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{|\cos n|}{n^2}$

Sabemos que $|\cos n| \leq 1$ para todo n. Então:

$\frac{|\cos n|}{n^2} \leq \frac{1}{n^2}$

Sabemos também que a série $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}$ (aula de critério da integral) é convergente. Portanto, a série $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\cos n}{n^2}$ é absolutamente convergente e, dessa forma, ela é uma série convergente.

Pelo Critério da Razão, temos:

i.) Se $\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| = L < 1$ , então a série $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_n$ é absolutamente convergente e, por isto, convergente.

ii.) Se $\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| = L > 1$ ou $\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| = \infty$ , então a série $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_n$ é divergente.