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Como aplicar os critérios de convergência para transformar um sistema em diagonalmente dominante?

Não consigo achar o sistema correto permutando as equações.


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Há mais de um mês

Uma série \sum a_n é chamada de absolutamente convergente se a série com os valores absolutos \sum |a_n| é convergente. Ex.: 

A série \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n^2} = 1 - \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} - \frac{1}{4^2} + ...é absolutamente convergente, pois a série:

 

  \[\sum_{n=1}^{\infty} \left|\frac{(-1)^{n-1}}{n^2} \right| = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} = 1 + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + ... \]

Uma série \sum a_n é chamada de condicionalmente convergente se for convergente, mas não absolutamente convergente. Ex.: 

A série \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n} = 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + ...é convergente pelo critério das séries alternadas. Porém:

 

  \[ \sum_{n=1}^{\infty} \left| \frac{(-1)^{n-1}}{n} \right| = \sum_{n=1}^{\infty}  \frac{1}{n}   = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + ... \]

 

não é convergente (série harmônica) pelo critério da comparação.

Logo, concluímos que a série \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n} não é absolutamente convergente.

Se uma série \sum a_n é absolutamente convergente, então ela é convergente. Ex.:

Determine se a série \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\cos n}{n^2} é convergente ou divergente.

A série possui termos positivos e negativos em ordens aleatórias (não alternadas):

 

  \[\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\cos n}{n^2} = \frac{\cos 1}{1^2} + \frac{\cos 2}{2^2} + \frac{\cos 3}{3^2} + \frac{\cos 4}{4^2} + \frac{\cos 5}{5^2} +  ... \]

 

 

  \[\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\cos n}{n^2} = \frac{0,540}{1} + \frac{-0,416}{4} + \frac{-0,989}{9} + \frac{-0,6544}{16} + \frac{0,284}{25} +  ... \]

 

Podemos aplicar o critério de comparação com os valores absolutos:

 

  \[\sum_{n=1}^{\infty} \left| \frac{\cos n}{n^2} \right| = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{|\cos n|}{n^2}  \]

 

Sabemos que |\cos n| \leq 1 para todo n. Então:

 

  \[\frac{|\cos n|}{n^2} \leq \frac{1}{n^2} \]

 

Sabemos também que a série \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} (aula de critério da integral) é convergente. Portanto, a série \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\cos n}{n^2} é absolutamente convergente e, dessa forma, ela é uma série convergente.

Pelo Critério da Razão, temos:

i.) Se \displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| = L < 1, então a série \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_n é absolutamente convergente e, por isto, convergente.

ii.) Se \displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| = L > 1 ou \displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| = \infty, então a série \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_n é divergente.

iii.) Se \displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| = 1, então o critério da razão é inconclusivo.

Uma série \sum a_n é chamada de absolutamente convergente se a série com os valores absolutos \sum |a_n| é convergente. Ex.: 

A série \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n^2} = 1 - \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} - \frac{1}{4^2} + ...é absolutamente convergente, pois a série:

 

  \[\sum_{n=1}^{\infty} \left|\frac{(-1)^{n-1}}{n^2} \right| = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} = 1 + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + ... \]

Uma série \sum a_n é chamada de condicionalmente convergente se for convergente, mas não absolutamente convergente. Ex.: 

A série \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n} = 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + ...é convergente pelo critério das séries alternadas. Porém:

 

  \[ \sum_{n=1}^{\infty} \left| \frac{(-1)^{n-1}}{n} \right| = \sum_{n=1}^{\infty}  \frac{1}{n}   = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + ... \]

 

não é convergente (série harmônica) pelo critério da comparação.

Logo, concluímos que a série \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n} não é absolutamente convergente.

Se uma série \sum a_n é absolutamente convergente, então ela é convergente. Ex.:

Determine se a série \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\cos n}{n^2} é convergente ou divergente.

A série possui termos positivos e negativos em ordens aleatórias (não alternadas):

 

  \[\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\cos n}{n^2} = \frac{\cos 1}{1^2} + \frac{\cos 2}{2^2} + \frac{\cos 3}{3^2} + \frac{\cos 4}{4^2} + \frac{\cos 5}{5^2} +  ... \]

 

 

  \[\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\cos n}{n^2} = \frac{0,540}{1} + \frac{-0,416}{4} + \frac{-0,989}{9} + \frac{-0,6544}{16} + \frac{0,284}{25} +  ... \]

 

Podemos aplicar o critério de comparação com os valores absolutos:

 

  \[\sum_{n=1}^{\infty} \left| \frac{\cos n}{n^2} \right| = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{|\cos n|}{n^2}  \]

 

Sabemos que |\cos n| \leq 1 para todo n. Então:

 

  \[\frac{|\cos n|}{n^2} \leq \frac{1}{n^2} \]

 

Sabemos também que a série \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} (aula de critério da integral) é convergente. Portanto, a série \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\cos n}{n^2} é absolutamente convergente e, dessa forma, ela é uma série convergente.

Pelo Critério da Razão, temos:

i.) Se \displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| = L < 1, então a série \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_n é absolutamente convergente e, por isto, convergente.

ii.) Se \displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| = L > 1 ou \displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| = \infty, então a série \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_n é divergente.

iii.) Se \displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| = 1, então o critério da razão é inconclusivo.

Essa pergunta já foi respondida por um dos nossos especialistas