Sejam A(1, 1, 1), B(0, 1, 1), C(1, 0, 1) e D(0, 0, 2), vec(u) = (BA), vec(v) = (CA) e vec(w) = (DA). calcular o volume do tetraedro ABCD.

Para calcularmos o volume do tetraedro devemos primeiro encontrar as suas dimensões. O exercício informa três vetores correspondentes a três lados do tetraedro:

\(vec(u)=(BA)\)

\(vec(v)=(CA)\)

\(vec(w)=(DA)\)

Para encontrarmos esses vetores precisamos apenas tirar a diferença entre os pontos iniciais e finais de cada vetor informado pelo exercício:

\(vec(u)=(BA)=A-B\)

\(vec(u)=(1,1,1)-(0,1,1)\)

\(vec(u)=(1-0,1-1,1-1)\)

\(vec(u)=(1,0,0)\)

\(vec(v)=(CA)=A-C\)

\(vec(v)=(1,1,1)-(1,0,1)\)

\(vec(v)=(1-1,1-0,1-1)\)

\(vec(v)=(0,1,0)\)

\(vec(w)=(DA)=A-D\)

\(vec(w)=(1,1,1)-(0,0,2)\)

\(vec(w)=(1-0,1-0,1-2)\)

\(vec(w)=(1,1,-1)\)

Para que tenhamos as dimensões do tetraedro devemos encontrar o tamanho desses vetores, conseguimos isso através da seguinte fórmula:

\(| vetor | =\sqrt{x^2+y^2+z^2 }\)

Vamos aplicar essa fórmula e descobrir o tamanho de todos os vetores:

\(|vec(u)|=\sqrt{1^2+0^2+0^2}\)

\(|vec(u)|=\sqrt{1}=1\)

\(|vec(v)|=\sqrt{0^2+1^2+0^2}\)

\(|vec(v)|=\sqrt{1}=1\)

\(vec(w)=\sqrt{1^2+1^2+(-1)^2}\)

\(vec(w)=\sqrt{3}\)

Agora que temos o tamanho dos vetores, que representam as dimensões do tetraedro, precisamos apenas aplicar a fórmula do volume:

\(V=c\cdot l \cdot h\)

\(c\): comprimento

\(l\): largura

\(h\): altura

\(V=|vec(u)| \cdot |vec(v)| \cdot |vec(w)|\)

\(V=1 \cdot 1 \cdot \sqrt{3}\)

\(V=\sqrt{3}\)

Assim, temos que o volume do tetraedro é igual a \(\sqrt{3}\).