lim raiz quadrada de x^2+1/x+1 quando x tende a nenos infinito

Bom dia, quando o x tende a menos infinito,  o limite é zero  Exemplo para você compreender melhor

   ou seja, à medida que x diminui,  y tende para zero e o limite é zero. 

  x tendendo a menos infinito    x^2+1/x+1 =    substituindo o x por zero o resultado final será 1

Neste exercício, será calculado o seguinte limite:

\(\Longrightarrow \lim_{x \to -\infty} { \sqrt {x^2 + 1} \over x+1 }\)

Substituindo uma nova variável \(y=-x\), o limite fica da seguinte forma:

\(\Longrightarrow \lim_{x \to -\infty} { \sqrt {x^2 + 1} \over x+1 } = \lim_{-y \to -\infty} { \sqrt {(-y)^2 + 1} \over -y+1 }\)

\(\Longrightarrow \lim_{x \to -\infty} { \sqrt {x^2 + 1} \over x+1 } = \lim_{y \to +\infty} { \sqrt {y^2 + 1} \over -y+1 }\)

Dividindo o numerador e o denominador por \(y\), a expressão resultante é:

\(\Longrightarrow \lim_{x \to -\infty} { \sqrt {x^2 + 1} \over x+1 } = \lim_{y \to +\infty} { \sqrt {y^2 + 1}/y \over (-y+1)/y }\)

                                 \(= \lim_{y \to +\infty} { \sqrt {y^2/y^2 + 1/y^2} \over -y/y+1/y }\)

                                 \(= \lim_{y \to +\infty} { \sqrt {1 + 1/y^2} \over -1+1/y }\)    \((I)\)

Sabe-se que \(\lim_{y \to +\infty} {1 \over y^2}=0\) e \(\lim_{y \to +\infty} {1 \over y}=0\). Aplicando o valor do limite \(y \to + \infty\) na equação \((I)\), o resultado final é:

\(\Longrightarrow \lim_{x \to -\infty} { \sqrt {x^2 + 1} \over x+1 } = \lim_{y \to +\infty} { \sqrt {1 + 1/y^2} \over -1+1/y }\)

                                 \( ={ \sqrt {1 + 0} \over -1+0 }\)

\(\Longrightarrow \fbox {$ \lim_{x \to -\infty} { \sqrt {x^2 + 1} \over x+1 } = -1 $}\)