em quais casos o juiz poderá iniciar uma ação?

Não pode, em razão do princípio da inércia da jurisdição. Mas o habeas corpus de ofício, previsto no §2º do art. 654 do CPP, é uma exceção. 

CPP, art. 654. § 2º: 
"Os juízes e os tribunais têm competência para expedir de ofício ordem de habeas corpus, quando no curso de processo verificarem que alguém sofre ou está na iminência de sofrer coação ilegal".