detrmine raiz quadrada de -9+12 i dos numeros complexos , alguém poderia me ajuda por favor ess

http://pir2.forumeiros.com/t13401-raizes-quadradas-de-numeros-complexoscomo-faco-essa-questao

https://www.youtube.com/watch?v=PdYtm2_9NqA 

obrigada

Para resolver esse exercício vamos usar a fórmula de Euler.

Para começar vamos determinar o que queremos encontrar:

$$x = \sqrt{-9+12i}=(-9+12i)^{1/2}$$

Para exercícios de potenciação é melhor usarmos a forma polar, começando por transformar o número em um produto do módulo por outro número complexo. Para o módulo, temos:

$$|-9+12i|=\sqrt{9^2+12^2}=15$$

De forma que ficamos com:

$$x = \sqrt{15}\left(-{9\over15}+i{12\over15}\right)^{1/2} = \sqrt{15}\left(-{3\over5}+i{4\over5}\right)^{1/2}$$

Tomemos agora $\theta$ tal que $\cos\theta=-{3\over5}$ e $\sin\theta={4\over5}$ e usemos a fórmula de Euler:

$$ x = \sqrt{15}\left(\cos\theta+i\sin\theta\right)^{1/2} = \sqrt{15}\left[e^{i(\theta+2k\pi)}\right]^{1/2}= \sqrt{15}e^{i\left({\theta\over2}+k\pi\right)}$$

De forma que $\theta\approx0,7\pi\ rad$.

Voltando para senos e cossenos pela fórmula de Euler, temos:

$$x = \sqrt{15}\left[\cos\left({\theta\over2}+k\pi\right)+i\sin\left({\theta\over2}+k\pi\right)\right]$$

Perceba que há dois resultados possíveis: $k\in\{0;1\}$:

$$x \in\left\{\sqrt{15}\left[\cos\left({\theta\over2} \right)+i\sin\left({\theta\over2} \right)\right], \sqrt{15}\left[\cos\left({\theta\over2}+\pi\right)+i\sin\left({\theta\over2}+\pi\right)\right]\right\}$$

Substituindo o valor de $\theta$, aplicando as funções trigonométricas e multiplicando o módulo (em evidência), temos o resultado:

$$\boxed{x \in\left\{1,732+3,464i;-1,732-3,464i\right\}}$$