Respostas
A derivada direcional de uma função com duas variáveis na direção de um vetor \(v\) é dada pelo produto escalar entre as derivadas parciais (vetor gradiente) e o vetor \(v\):
\(D=(\frac{df}{dx};\frac{df}{d}).v\)
Vamos então derivar a função \(f(x,y)= x^2 y^3-4 y\) em relação a \(x\) :
\(df/dx=2xy^3\)
Agora em relação a y:
\(df/dy=3x²y²-4\)
Assim, temos o vetor gradiente \((2xy^3,3x^2y^2-4)\)
Substituimos na fórmula de \(D\) e sabendo que \(v=2i+5j = (2,5)\), temos:
\(D=(\frac{df}{dx};\frac{df}{d}).v\)
\(D= (2xy^3,3x²y²-4).(2,5)\\ D= (4xy³+15x²y²-20)\)
No ponto \((2,-1)\), temos:
\(D= (4xy³+15x²y²-20)\\ D= (4.2.(-1)³+15(2)²(-1)²-20)\\ D=32\)
Portanto, a derivada direcional é \(\boxed{D=32}\).
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