Encontre a derivada direcional da função f(x,y)= x^2 y^3-4 y no ponto (2,-1) na direção do vetor v=2i+5j.

A derivada direcional de uma função com duas variáveis na direção de um vetor \(v\) é dada pelo produto escalar entre as derivadas parciais (vetor gradiente) e o vetor \(v\):

\(D=(\frac{df}{dx};\frac{df}{d}).v\)

 

Vamos então derivar a função  \(f(x,y)= x^2 y^3-4 y\) em relação a \(x\) :

\(df/dx=2xy^3\)

Agora em relação a y:

\(df/dy=3x²y²-4\)

Assim, temos o vetor gradiente \((2xy^3,3x^2y^2-4)\)

Substituimos na fórmula de \(D\) e sabendo que  \(v=2i+5j = (2,5)\), temos:

\(D=(\frac{df}{dx};\frac{df}{d}).v\)

\(D= (2xy^3,3x²y²-4).(2,5)\\ D= (4xy³+15x²y²-20)\)

No ponto \((2,-1)\), temos:

\(D= (4xy³+15x²y²-20)\\ D= (4.2.(-1)³+15(2)²(-1)²-20)\\ D=32\)

Portanto, a derivada direcional é \(\boxed{D=32}\).