COMO CALCULAR?

Calculando...

Para resolver este problema, devemos colocar em prática a teoria sobre o cálculo de intervalo de confiança para média. Neste contexto, o intervalo de confiança, \(IC\), é calculado por meio da seguinte equação:

\(IC\left (p;1-\alpha \right)=\left [p-z_{\frac{1-\alpha}{2}}\cdot \sigma_p;\text{ } p+z_{\frac{1-\alpha}{2}}\cdot \sigma_p \right],\)

em que \(p\) é a média amostral; \(\alpha\) o nível de significância; \(z\) o coeficiente obtido da tabela de distribuição normal; e \(\sigma_p=\sqrt{\dfrac{p\cdot q}{n}}\), onde \(p\) é a proporção \(n\) o tamanho da amostra.

a) 

Para o cálculo do intervalo de confiança, inicia-se calculando a proporção de alunos favoráveis. Logo:

\(\begin{align} p&=\dfrac{120}{200} \\&=0,60 \end{align}\)

Daí, segue-se com o cálculo do coeficiente \(z\) e a obtenção de seu valor na Tabela de Distribuição Normal (para amostras com \(n<30\), utiliza-se a Tabela de Distribuição t de Student, e, no caso de \(​​n>30\), emprega-se a Tabela de Distribuição Normal), disponível em https://www.tudoengcivil.com.br/2014/10/tabela-de-distribuicao-normal.html (acesso 22 mai. 2018). Assim, tem-se que:

\(\begin{align} z_{\frac{1-\alpha}{2}}&=z_{\frac{1-0,02}{2}} \\&=z_{\frac{0,98}{2}} \\&=z_{0,49} \\&=2,33 \end{align}\)

Uma vez conhecido o coeficiente, calcula-se-se o intervalo de confiança:

\(\begin{align} IC\left (0,6;0,98 \right)&=\left [0,60-2,32\overline{6} \cdot \sqrt{\dfrac{0,6\cdot0,4}{200}};\text{ } 0,60+2,32\overline{6}\cdot \sqrt{\dfrac{0,6\cdot0,4}{200}} \right] \\&=\left[0,5194, \text{ } 0,6806\right] \\&=\left[51,94\text{ %}, \text{ } 68,06 \text{ %} \right] \end{align}\)

Portanto, para o nível de significância de \(2 \text{ %}\), o intervalo de confiança é \(\begin{align} \boxed{IC\left (0,6;0,98 \right)=\left[51,94\text{ %}, \text{ } 68,06 \text{ %} \right]} \end{align}\).

b)

O erro de estimação consiste na variação do intervalo em relação a proporção. Desta forma, denominando o erro de \(E\), resulta que:

\(\begin{align} E&=68,06\text{ %} - 60,00 \text{ %} \\&=60,00\text{ %} - 51,94 \text{ %} \\&=8,06\text{ %} \end{align}\)

Logo, no intervalo calculado no item a), há um erro de estimação de \(\boxed{8,06\text{ %}}\).