Assinale a alternativa que contenha a área da região compreendida entre a parábola: y=2 - x² e a reta y= -x

Defina os limites de integração

Para quais valores de x a parábola e a reta têm o mesmo valor? Quando

2 - x² = -x        (1)

O limite inferior será a menor raiz e o superior será a maior.

Integração

Esboçe os gráficos das duas funções em um plano cartesiano e observe o intervalo em que x varia da menor raiz para a maior. Qual das funções é maior durante esse intervalo? Se f(x) é a maior função e g(x) a menor, então a área A compreendida entre essas curvas é dada por

A = ∫[f(x) - g(x)]dx       (2)

onde os limites de integração são dados pela equação 1.

Devemos encontrar a área entre as funções e para isso realizaremos os cálculos abaixo:

\(\[\begin{align} & y=2-{{x}^{2}} \\ & y=-x \\ & -{{x}^{2}}-x+2=0 \\ & \int_{a}^{b}{f(x)=}\int_{-4}^{-2}{-{{x}^{2}}-x+2} \\ & \int_{-4}^{-2}{-{{x}^{2}}-x+2}=\left[ \frac{-{{x}^{3}}}{3}-\frac{-{{x}^{2}}}{2}+2x \right]_{-4}^{-2} \\ & \int_{-4}^{-2}{-{{x}^{2}}-x+2}=\left[ \frac{-{{(-2)}^{3}}}{3}-\frac{-{{(-2)}^{2}}}{2}+2(-2) \right]-\left[ \frac{-{{(-4)}^{3}}}{3}-\frac{-{{(-4)}^{2}}}{2}+2(-4) \right] \\ & A=\left[ \frac{8}{3}-\frac{4}{2}-4 \right]-\left[ \frac{64}{3}-8-8 \right] \\ & A=-3,33-5,33 \\ & A=8,66 \\ \end{align}\] \)

Portanto, a área entre as funções será A=-8,66.