como calcular o volume dos sólidos que se obtém por rotação da região limitada por x^2=y-2, 2y-x-2=0,x=0e x=1 :em torno do eixo dos x

Opa, notei que esqueci do π (pi) na integração apesar de ser uma constante e não inferir na integral, segue link atualizado 

https://www.symbolab.com/solver/step-by-step/%5Cint_%7B0%7D%5E%7B1%7D%20%5Cpi%5Cleft(x%C2%B2-0.5x%2B1%5Cright)%C2%B2dx 

Você deve isolar o y nas duas primeiras funções, tendo-se então:

y=x²+2 e y=(x+2)/2 

Desenhe os graficos dessas funções e das funções x = 0 e x = 1 (essas últimas são retas) no plano XY, então, você verá que eles irão delimitar uma região fechada. Esta é a região que você irá rotacionar no eixo X, para isso vc deve fazer a integral de 0 a 1 de π (pi) vezes ((x²+2)-((x+2)/2))² dx. Você fará (x²+2)-((x+2)/2) pois, x²+2 está acima e (x+2)/2  está abaixo na região delimitada. Os limites de 0 a 1 são dados pelas retas x=0 e x=1 que delimitam a região.  (x²+2)-((x+2)/2)  resulta em x²+2-0.5x-1 = x²-0.5x+1, logo a integral é de 0 a 1 de (x²-0.5x+1)²dx, que pode ser resolvida como mostrada no link: https://www.symbolab.com/solver/step-by-step/%5Cint_%7B0%7D%5E%7B1%7D%20%5Cleft(x%C2%B2-0.5x%2B1%5Cright)%C2%B2dx

Espero ter ajudado, não quis explicar a resolução da integral para não complicar, clicando no link vc terá uma resolução mais compreensível!  

Bons estudos!