Caso tenha entendido corretamente, a integral em questão envolve uma substituição simples (u du)
Escolha o termo 2x²+1 como sendo sua função u(x) (para a substitução). du = 4x dx. Note que, na integral, já há o termo xdx. Para que cê possa adeque a substituição, ajuste ¹⁄4du = xdx. Assim, a sua integral (em termos da nova variável u) é:

 ∫¹⁄4 u^5 du =

¹⁄4∫u^5du =

¹⁄4(u^6)/(6) + k=
u^6/24 + K. Voltando a variável original: u = 2x²+1...

Resposta: [(2x²+1)^6]/24 + k.

Devemos encontrar a integral da função dada e para isso realizaremos os seguintes cálculos abaixo:

\([\begin{align} & \int_{{}}^{{}}{F}=\int_{{}}^{{}}{x{{({{x}^{2}}+1)}^{5}}dx} \\ & u=2{{x}^{2}}+1 \\ & du=4xdx \\ & xdx=\frac{du}{4} \\ & \int_{{}}^{{}}{x{{({{x}^{2}}+1)}^{5}}dx}=\int_{{}}^{{}}{\frac{{{u}^{5}}}{4}du} \\ & \int_{{}}^{{}}{\frac{{{u}^{5}}}{4}du}=\frac{1}{4}\int_{{}}^{{}}{{{u}^{5}}}du \\ & \int_{{}}^{{}}{\frac{{{u}^{5}}}{4}du}=\frac{{{u}^{6}}}{24} \\ & \int_{{}}^{{}}{x{{({{x}^{2}}+1)}^{5}}dx}=\frac{{{(2{{x}^{2}}+1)}^{6}}}{24} \\ & \int_{{}}^{{}}{x{{({{x}^{2}}+1)}^{5}}dx}=\frac{{{(2{{x}^{2}}+1)}^{6}}}{24}+C \\ \end{align} \)

Portanto, a integral da função dada será \(\boxed{\int_{}^{} {x{{({x^2} + 1)}^5}dx} = \frac{{{{(2{x^2} + 1)}^6}}}{{24}} + C}\).