prove que o numero de diagonais de um prisma e igual ao dobro do numero de diagonais de uma de suas bases

Se "diagonais" se referirem as "diagonais espaciais" de um prisma...

1) Dbas = Dpol = n(n-3)/2

Cada um dos "n" vértices da base pode se combinar com "n-3" outros, isto é com "n" menos ele mesmo e seus dois vértices adjacentes que formam lados, não diagonais. 

Divide-se por dois pois a diagonal Vi — Vi+3 = Vi+3 — Vi, foi contada 2 vezes.

2) Dpri = n(n-3)

Cada um dos "n" vértices de uma base pode se combinar com "n-3" outros da base oposta, isto é com "n" menos o que forma a aresta com ele mesmo e outros dois vértices da base oposta que formam diagonais das faces e não as espaciais do prisma.

Vamos fazer a seguinte sequência de cálculos para provar a acertiva em questão:

Sendo d= diagonais e n=número de lados.

d=n(n-3)/2

d=n²-3n/2

2n=n²-3n/2

4n=n²-3n

7n=n²

n²-7n=0(aplicando bhaskara encontrará as raízes 0 e 7)

Como apenas 7 é > 0,então o polígono tem 7 lados(heptágono).