Vamos resolver o seguinte limite, que nada mais é que a definição da derivada de \({1\over x^2}\):

\(L=\lim\limits_{h\rightarrow0}{{1\over(x+h)^2}-{1\over x^2}\over h}\)

Fazendo o mínimo múltiplo comum da subtração, temos:

\(L=\lim\limits_{h\rightarrow0}{{x^2\over x^2(x+h)^2}-{(x+h)^2\over x^2(x+h)^2}\over h}=\lim\limits_{h\rightarrow0}{x^2-(x+h)^2\over hx^2(x+h)^2}\)

Lembrando da fatoração de diferença de quadrados, isto é:

\(a^2-b^2=(a+b)(a-b)\)

Temos:

\(L=\lim\limits_{h\rightarrow0}{-h(2x+h)\over hx^2(x+h)^2}\)

Simplificando o \(h\) multiplicativo, temos:

\(L=-\lim\limits_{h\rightarrow0}{2x+h\over x^2(x+h)^2}\)

Aplicando \(h=0\) na expressão, temos:

\(L=-{2x+0\over x^2(x+0)^2}=-{2x\over x^4}\Rightarrow\boxed{L=-{2\over x^3}}\)