Como calcular a integral de tangente de x?

https://www.passeidireto.com/arquivo/35363101/tabela-de-derivadas-e-integrais

Vamos calcular a seguinte integral:

\(I=\int tg(x)\ dx\)

Para começar, vamos lembrar da definição da função tangente:

\(tg(x)={sen(x)\over cos(x)}\)

Substituindo essa relação na integral, temos:

\(I=\int {sen(x)\over cos(x)}\ dx\)

Fazendo \(u=cos(x)\Rightarrow du=-sen(x)dx\), temos:

\(I=\int {-du\over u}\)

Caímos em uma das integrais fundamentais (sem esquecer da constante de integração):

\(I=-\ln(u)+C\)

Voltando à variável \(x\), temos:

\(\boxed{I=C-\ln\left[cos(x)\right]}\)