para todo inteiro a, provar que 4|¬(não divide)(a^2+2)

Considere dois casos: 

- a é um número par:

Se a é par, então podemos tomar: a = 2z | z pertnece aos inteiros.

Desenvolvendo a² + 2 temos:

a² + 2 = (2z)² + 2 = 4z² + 2. 

4z² é multiplo de 4, o que mostra que 4 divide 4z², mas 4 não divide 2, onde concluimos que 4z² + 2 não é multiplo de 4 e portanto 4 não divide 4z² + 2. 

- a é um número ímpar:

Se a é ímpar, então podemos tomar: a = 2z + 1 | z pertence aos inteiros.

Desenvolvendo a² + 2 temos:

a² + 2 = (2z + 1)² + 2 = 4z² + 4z + 1 + 2 = 4(z² + z) + 3.

4(z² + z) é multiplo de 4, o que mostra que 4 divide 4(z² + z), mas 4 não divide 3, onde concluimos que 4(z² + z) + 3 não é multiplo de 4 e portanto 4 não divide 4(z² + z) + 3. 

Portanto, para nenhum dos casos 4 divide a.

Vamos provar que para todo inteiro \(a\), 4 não divide \(a^2+2\).

Vamos considerar duas possibilidades para \(a\):

• Se \(a\) for ímpar, temos que o quadrado de um número ímpar também é ímpar e, consequentemente \(a^2+2\) também o é, ficando impossível tal resultado ser múltiplo de 4 \(\checkmark\)
• A segunda possibilidade é que \(a\) seja par. Nesse caso \(a\) pode ser reescrito como \(a=2k\) com \(k\) inteiro, de forma que \(a^2=4k^2\), isto é, múltiplo de 4, de forma que \(a^2+2=4k^2+2\) não o seja. \(\checkmark\)

Provamos, portanto, que para qualquer número inteiro \(a\), \(a^2+2\) não divide 4.