Taxa de variação

500*sec²(π/4)(0,14) = (dh/dt)
mas secθ = 1/cosθ. logo, sec²θ = 1/cos²θ e assim:
sec²(π/4) = 1/cos²(π/4)
mas cos(π/4) = √2/2. assim:
sec²(π/4) = 1/(√2/2)²
sec²(π/4) = 1/(2/4)
sec²(π/4) = 1/(1/2) = 2
logo:
(dh/dt) = 500*sec²(π/4)(0,14)
(dh/dt) = 500*2*0,14
(dh/dt) = 140 m/min
portanto, a taxa com que o balão sobe é 140 m/min.

espero que eu tenha ajudado.

Bruno, sua resposta está perfeita. O único problema foi a troca de grandeza

O enunciado pedia em pés/min e você deu em m/min, fora isso está perfeito.

Para encontrar a velocidade com que o balão sobe, realizaremos os cálculos abaixo:

\(\begin{align} & 500sec{}^\text{2}\left( \pi /4 \right)\left( 0,14 \right) \\ & sec\theta =1/cos\theta =\text{ }1/cos{}^\text{2}\theta \text{ } \\ & sec{}^\text{2}\left( \pi /4 \right)=1/cos{}^\text{2}\left( \pi /4 \right)~\text{ } \\ & sec{}^\text{2}\left( \pi /4 \right)=1/\left( 2/4 \right) \\ & ~sec{}^\text{2}\left( \pi /4 \right)=1/\left( 1/2 \right)\text{ } \\ & \left( dh/dt \right)=500\cdot 2\cdot 0,14~ \\ & \left( dh/dt \right)\text{ }=\text{ }140\text{ }metros/min~ \\ \end{align}\ \)

Portanto, a velocidade de subida será de \(\boxed{140{\text{ m/minuto}}}\).