qual o domínio da seguinte função e por que? e qual o esboço do dominio?

Bom dia,

O dominio da função é determinado em cada caso ... pois algumas funções apresentam algumas restrições.

Neste caso temos um logaritmo neperiano (ou logaritmo cuja base é o numero 'e').

O logatimo apresenta as setuintes restrições: o logaritmando deve ser positivo (maior que zero) e a base deve ser positiva (maior que zero) e diferente de zero.

Então é necessário calcular para quais valores (16-4x²-4y²-z²) é positivo, ou seja :

16-4x²-4y²-z² > 0

Como temos uma função no R³ o dominio da função é definida em todo R³ menos a região determinada por

-4x²-4y²-z² < 0

-4x²-4y²-z² < -16

4x²+4y²+z² > 16

De outro modo, todo o espaço menos os vetores de R³ de norma maior que 16.

O arquivo deste link http://www2.ufersa.edu.br/portal/view/uploads/setores/114/f_aula_ifvv.pdf pode auxiliar nos seus estudos.

Espero que tenha ajudado! Bons estudos!

A função logaritmo traz como regra que o logaritmando deve ser positivo, ou seja:

\(16-4x^2-4y^2-z^2 > 0\)

Na análise de x como variável independente, percebe-se que este só não torna negativa a soma quando:

\(-2 < x < 2\)

E na análise de y em função, de x, teremos:

\(-\sqrt{4 - x^2} < y < \sqrt{4 - x^2} \)

E na análise de z em funçao de x e y, teremos:

\(-\sqrt{4 - x^2 - y^2} < z < \sqrt{4 - x^2 - y^2} \)

Da geometria analítica, sabemos que \(16-4x^2-4y^2-z^2 = 0\) indica um elipsoide simétrico no eixo z. Logo, o esboço do domínio será a metade (positiva) de um elipsoide.