qual a integral de lnx x² dx

Para esse exercicio devemos encontrar a integral da função dada e para isso utilizaremos a propriedade de substituição integral. Para isso primeiro vamos considerar os dados abaixo:

\(\begin{array}{l} u = \ln x\\ dv = {x^2}\\ du = \frac{{dx}}{x}\\ v = \frac{{{x^3}}}{3} \end{array} \)

Considerando os dados acima, vamos agora encontrar a integral:

\(\begin{array}{l} \int_{}^{} {{x^2}\ln x} dx = \frac{{{x^3}\ln x}}{3} - \int_{}^{} {\frac{{{x^2}}}{3}dx} \\ \int_{}^{} {{x^2}\ln x} dx = \frac{{{x^3}\ln x}}{3} - \frac{1}{3}\int_{}^{} {{x^2}dx} \\ \int_{}^{} {{x^2}\ln x} dx = \frac{{{x^3}\ln x}}{3} - \frac{{{x^3}}}{9}\\ \int_{}^{} {{x^2}\ln x} dx = \frac{{{x^3}\ln x}}{3} - \frac{{{x^3}}}{9} + C \end{array} \)

Portanto, a integral da função dada será \(\begin{array}{l} \int_{}^{} {{x^2}\ln x} dx = \frac{{{x^3}\ln x}}{3} - \frac{{{x^3}}}{9} + C \end{array} \).