Encontre por derivação implícita. e^x/y=x-y

y^2-ye^x

y^2-e^x

Considerando \(y=y(x) \), vamos derivar os dois lados da equação com respeito a \(x\):

\((e^{x/y(x)})' =(x-y (x))'\)

=>

\({e^{x/y(x)}(y(x)-xy'(x))\over y(x)^2 }=1-y'(x) \)

Multiplicando os dois lados da equação por \(y(x)^2\), temos:

\(e^{x/y(x)}y(x)-xe^{x/y(x)}y'(x) =y(x)^2-y'(x)y(x)^2 \)
 

Isolando \(y'(x)\), temos:

\(y'(x)y(x)^2-xe^{x/y(x)}y'(x) =y(x)^2-e^{x/y(x)}y(x)\)

=>

\((y(x)^2-xe^{x/y(x)})y'(x) =y(x)^2-e^{x/y(x)}y(x)\)

=>

\(y'(x) = \frac{ y(x)^2-e^{x/y(x)}y(x)}{ y(x)^2-xe^{x/y(x)}}\)