Existe faculdade de web design?

Sim, existem faculdades de desenvolvimento web e design para web em algumas universidades. Também existem cursos técnicos em web design, que geralmente engloba alguns princípios básicos do design, web design e um programação HTML. Pessoalmente, nunca fiz nenhum destes cursos, então não tenho como dizer se você aprende coisas novas lá. Muita gente aconselha a fazer uma faculdade de design gráfico e depois (ou durante) fazer um curso de programação HTML para saber como montar um site. Mas isto vai de cada um.

Sim, é mais conhecido como Design Digital(existe até em grau de bacharelado).