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CÁLCULO NUMÉRICO

Considere o sistema não linear x² -y²–9=0 2x²-y=0. Usando,o método de Newton, com X(0) =(11)t, de modo a garantir que ||xk-xk-1||<10-² (3.0)

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Há mais de um mês

Pode ser encarado como um caso particular do método do ponto fixo, onde é possível obter uma convergência quadrática. Basta reparar que se f '(z) =/= 0:

 

f(z) = 0 <=> z = z - f(z) / f '(z)

definindo a função iteradora g(z) = z - f(z) / f '(z), e os pontos fixos de g serão os zeros de f
Para além disso, podemos ver que :

 

g'(z) = f(z) f ''(z) / ( f ' (z) )2

ora como f(z) = 0 então g'(z) = 0 . Pelo teorema anterior, usando esta função iteradora g, é possível arranjar uma vizinhança da raiz onde asseguramos, pelo menos, uma convergência quadrática (desde que f ' (z) =/= 0).

Portanto o método de Newton resume-se a efectuar as iterações:

 

Iterada inicial: x0
xn+1 = xn - f(xn ) / f ' (xn )

Historicamente, a origem do método de Newton é geométrica. 
Consiste em definir a nova iterada a partir da intersecção com o eixo das abcissas da tangente à função f (calculada na iterada anterior) :

basta reparar que a equação da tangente num ponto xn é

y = f(xn ) + f ' (xn ) ( x - xn )

e a iterada xn+1 é a "raiz da tangente", basta pois fazer y = 0 para verificarmos que o valor de xn+1 coincide com o obtido.

É também claro, mesmo geometricamente, que não podemos ter iteradas em que f ' (xn) = 0, pois ficariamos com tangentes paralelas ao eixo das abcissas, que nunca o intersectariam (... na "nossa" geometria euclidiana!).

 

 

 

Pode ser encarado como um caso particular do método do ponto fixo, onde é possível obter uma convergência quadrática. Basta reparar que se f '(z) =/= 0:

 

f(z) = 0 <=> z = z - f(z) / f '(z)

definindo a função iteradora g(z) = z - f(z) / f '(z), e os pontos fixos de g serão os zeros de f
Para além disso, podemos ver que :

 

g'(z) = f(z) f ''(z) / ( f ' (z) )2

ora como f(z) = 0 então g'(z) = 0 . Pelo teorema anterior, usando esta função iteradora g, é possível arranjar uma vizinhança da raiz onde asseguramos, pelo menos, uma convergência quadrática (desde que f ' (z) =/= 0).

Portanto o método de Newton resume-se a efectuar as iterações:

 

Iterada inicial: x0
xn+1 = xn - f(xn ) / f ' (xn )

Historicamente, a origem do método de Newton é geométrica. 
Consiste em definir a nova iterada a partir da intersecção com o eixo das abcissas da tangente à função f (calculada na iterada anterior) :

basta reparar que a equação da tangente num ponto xn é

y = f(xn ) + f ' (xn ) ( x - xn )

e a iterada xn+1 é a "raiz da tangente", basta pois fazer y = 0 para verificarmos que o valor de xn+1 coincide com o obtido.

É também claro, mesmo geometricamente, que não podemos ter iteradas em que f ' (xn) = 0, pois ficariamos com tangentes paralelas ao eixo das abcissas, que nunca o intersectariam (... na "nossa" geometria euclidiana!).

 

 

 

Essa pergunta já foi respondida por um dos nossos especialistas