RESPOSTA CORRETA 

cos x = -√5 /3

Neste exercício, serão utilizados os conhecimentos sobre trigonometria. Para isso, sabe-se que:

\(\Longrightarrow \sin x={2 \over 3}\)

A primeira alternativa diz que \(\cos x=-{ \sqrt 5 \over 3}\). Através dos seguintes cálculos, tem-se que:

\(\Longrightarrow \cos x=\sqrt{1 - \sin^2 x}\)

\(\Longrightarrow \cos x=\sqrt{1 - \big ({2 \over 3} \big )^2}\)

\(\Longrightarrow \cos x=\sqrt{{9 \over 9} - {4 \over 9}}\)

\(\Longrightarrow \cos x={ \sqrt 5 \over 3}\)

Como \(x\) pertence ao primeiro quadrante, tem-se que \(\cos x>0\). Portanto, a primeira alternativa é falsa.

A segunda alternativa diz que \(\sec x= {3\sqrt 5 \over 5}\). Através dos seguintes cálculos, tem-se que:

\(\Longrightarrow \sec x= {1 \over \cos x}\)

\(\Longrightarrow \sec x= {3 \over \sqrt 5}\)

\(\Longrightarrow \sec x= {3\sqrt 5 \over 5}\)

Portanto, a segunda alternativa é verdadeira.

A terceira alternativa diz que \(\csc x={1 \over 2}\). Através dos seguintes cálculos, tem-se que:

\(\Longrightarrow \csc x={1 \over \sin x}\)

\(\Longrightarrow \csc x={3 \over 2}\)

Portanto, a terceira alternativa é falsa.

A quarta alternativa diz que \( \tan x = - {7 \over 2}\). Através dos seguintes cálculos, tem-se que:

\(\Longrightarrow \tan^2 x + 1 = \sec^2 x\)

\(\Longrightarrow \tan^2 x = \Big ({3\sqrt 5 \over 5}\Big)^2-1\)

\(\Longrightarrow \tan x = \sqrt { {9 \over 5}-{ 5 \over 5} }\)

\(\Longrightarrow \tan x = \sqrt {4 \over 5}\)

\(\Longrightarrow \tan x = {2 \sqrt 5 \over 5}\)

Como \(x\) pertence ao primeiro quadrante, tem-se que \( \tan x >0\). Portanto, a quarta alternativa é falsa.

A quarta alternativa diz que \( \cot x = -{ 2 \over 7}\). Através dos seguintes cálculos, tem-se que:

\(\Longrightarrow \cot x = {1 \over \tan x}\)

\(\Longrightarrow \cot x = {5 \over 2 \sqrt 5}\)

\(\Longrightarrow \cot x = { \sqrt 5 \over 2}\)

Portanto, a quinta alternativa é falsa.

Portanto, a alternativa correta é a segunda alternativa, ou seja:

\(\Longrightarrow \fbox {$ \sec x= {3\sqrt 5 \over 5} $}\)