Duvida sobre Correção Fator de Potência em Circuito 1 (quero cálculos)

Um transformador de potência aparente nominal igual a \(S_{nom}=100 \, \mathrm {kVA}\) opera com 80% da capacidade nominal. Portanto, a potência aparente \(S_t\) do trafo correspondente é:

\(\Longrightarrow S_{t}=S_{nom}\cdot 80 \, \% \)

\(\Longrightarrow S_{t}=100\cdot 0,8\)

\(\Longrightarrow S_t=80 \, \mathrm {kVA}\)

O fator de potência do transformador é \(\cos \theta_t = 0,85\) atrasado. Portanto, a potência ativa do trafo é:

\(\Longrightarrow P_t = S_t \cdot \cos \theta_t\)

\(\Longrightarrow P_t = 80 \cdot 0,85\)

\(\Longrightarrow \underline { P_t = 68 \, \mathrm {kW}}\)     \((I)\)

E o módulo da potência reativa do trafo é:

\(\Longrightarrow S_t^2 = P_t^2 +Q_t^2 \)

\(\Longrightarrow |Q_t| = \sqrt{S_t^2 - P_t^2 }\)

\(\Longrightarrow |Q_t| = \sqrt{80^2 - 68^2 }\)

\(\Longrightarrow |Q_t| = 42,143 \, \mathrm {kVAR}\)

Como o fator de potência do transformador é atrasado, a potência reativa do transformador é maior do que zero, ou seja, \(Q_t>0 \). Portanto, o valor de \(Q_t\) é:

\(\Longrightarrow \underline {Q_t = 42,143 \, \mathrm {kVAR}}\)    \((II)\)

Agora, tem-se uma carga de potência aparente \(S_{c}\) e fator de potência \(\cos \theta_c = 0,6\) atrasado. Portanto, tem-se \(Q_c>0 \) e \(\theta_c >0\). O valor de \(\theta_c \) é:

\(\Longrightarrow \theta_c = \cos^{-1}(0,6)\)

\(\Longrightarrow \theta_c = 53,13^{\circ}\)

Além disso, tem-se a seguinte equação:

\(\Longrightarrow {Q_c \over P_c} = \tan \theta_c\)

\(\Longrightarrow Q_c =P_c\cdot \tan \, (53,13^{\circ})\)

\(\Longrightarrow \underline { Q_c ={4 \over 3}P_c }\)      \((III)\)

Para levar o equipamento à plena carga (ou seja, levar para \(S_{nom}=100 \, \mathrm {kVA}\)), a seguinte equação deve ser atendida:

\(\Longrightarrow S_{nom}^2 =(P_t + P_c)^2 + (Q_t + Q_c ) ^2 \)

Substituindo as equações \((I)\), \((II)\) e \((III)\), a equação resultante é:

\(\Longrightarrow 100^2 = (68 + P_c)^2 + (42,143 + {4 \over 3}P_c ) ^2 \)

\(\Longrightarrow 10^4 = \Big (68^2 + 2\cdot 68 \cdot P_c + P_c^2 \Big ) + \Big (42,143^2+2 \cdot 42,143 \cdot {4 \over 3}P_c + \big ( {4 \over 3}P_c \big ) ^2 \Big )\)

\(\Longrightarrow 10^4 = 4.624 + 136 P_c + P_c^2 + 1.776+112,38P_c + {16 \over 9}P_c ^2\)

\(\Longrightarrow 10^4 = {25 \over 9}P_c ^2 + 248,38P_c+6.400\)

\(\Longrightarrow 0 = {25 \over 9}P_c ^2 + 248,38P_c-3.600\)

\(\Longrightarrow 0 = P_c ^2 + 89,417P_c-1.296\)     \((IV)\)

A equação \((IV)\) está no formato \(ax^2+bx+c\), com \(a=1\), \(b=89,417\) e \(c=-1.296\). Portanto, pelo método de Bhaskara, as possíveis soluções da equação é:

\(\Longrightarrow P_c = {-b \pm \sqrt{b^2-4ac} \over 2a}\)

\(\Longrightarrow P_c = {-89,417 \pm \sqrt{(89,417)^2-4\cdot 1 \cdot (-1.296)} \over 2\cdot 1}\)

\(\Longrightarrow P_c = {-89,417 \pm \sqrt{7.995,38+5.184} \over 2}\)

\(\Longrightarrow P_c = {-89,417 \pm 114,80 \over 2}\)    \(\to \left \{ \begin{matrix} P_{c,1}=12,69 \, \mathrm {kW} \\ P_{c,2} =-112,11 \, \mathrm {kW}\end{matrix} \right.\)

Como se trata de uma carga, o valor da potência \(P_c\) deve ser maior do que zero. Portanto, a solução da equação \((IV)\) é:

\(\Longrightarrow \underline { P_{c}=12,69 \, \mathrm {kW}}\)

Finalmente, o valor da potência aparente \(S_c\) da carga é:

\(\Longrightarrow S_c \cdot \cos \theta_c = P_c\)

\(\Longrightarrow S_c = {P_c \over \cos \theta_c }\)

\(\Longrightarrow S_c = {12,69 \over 0,6 }\)

\(\Longrightarrow \fbox {$ S_c = 21,15 \approx 21,2 \,\mathrm{kVA} $}\)