a ) Para encontrarmos uma expressão para a distância, realizaremos os cálculos abaixo:

\(\begin{align} & \rho g({{y}_{1}}-{{y}_{2}})=\frac{1}{2}\rho v_{2}^{2} \\ & {{v}_{2}}=\sqrt{2gh} \\ & \\ & x={{x}_{0}}+{{v}_{x}}t \\ & x=0+{{v}_{2}}t \\ & x=t\sqrt{2gh} \\ & \\ & y-{{y}_{0}}={{v}_{0y}}t+\frac{1}{2}a{{t}^{2}} \\ & -(H-h)=-\frac{1}{2}g{{t}^{2}} \\ & t=\sqrt{\frac{2(H-h)}{g}} \\ & x=\sqrt{\frac{2(H-h)2gh}{g}} \\ & x=2\sqrt{(H-h)h} \\ \end{align}\ \)

b) Para encontrar o alcance máximo da água devemos:

\(\begin{align} & x=2\sqrt{(H-h')h'} \\ & x=2\sqrt{(H-h)h} \\ & h{{'}^{2}}-Hh'+(Hh-{{h}^{2}})=0 \\ & h{{'}_{1}}=h \\ & h{{'}_{2}}=H-h \\ & h'=H-h \\ \end{align}\ \)

c) A relação de H para o alcance máximo será:

\(\begin{align} & \frac{dx}{dh}=\frac{d}{dh}\left( 2\sqrt{(H-h)h} \right) \\ & \frac{dx}{dh}=0 \\ & \frac{H-2h}{\sqrt{(H-h)h}}=0 \\ & h=\sqrt{\frac{H}{2}} \\ \end{align}\ \)