Mais uma integral?

https://www.wolframalpha.com/input/?i=int[%28ln2x%29%2F%28x%28ln4x%29%29]dx

Chama ln(x) de u;
du=(1/x)  dx;
(regra do produto de ln -> ln(x*y) = ln(x)+ln(y))
 ai fica integral de: 
( ln(2)+u / ln(4)+u ) du
Bem empaquei aqui, mas espero ter ajudado a iluminar um caminho haha

Vamos primeiramente usar as propriedades de logaritmo para reescrever a integral:

\(I = \int {\ln(2x)\over x\ln(4x)}dx= \int {\ln(2)+\ln(x)\over x\left[\ln(2^2)+\ln(x)\right]}dx= \int {\ln(2)+\ln(x)\over x\left[2\ln(2)+\ln(x)\right]}dx\)

Fazendo \(y=2\ln(2)+\ln(x)\Rightarrow dy={1\over x}dx\), temos:

\(I = \int {y-\ln(2)\over y}dy= \int 1-{\ln(2)\over y}dy\)

Separando a integral da soma em uma soma de integrais, temos:

\(I = \int 1-{\ln(2)\over y}dy = \int dy-\ln(2)\int{1\over y}dy\)

Integrando, temos:

\(I = y-\ln(2)\ln(y)+C\)

Voltando para a variável original, temos:

\(I = 2\ln(2)+\ln(x)-\ln(2)\ln\left[2\ln(2)+\ln(x)\right]+C\)

Simplificando através das propriedades de logaritmo, temos:

\(I = \ln(4x)-\ln(2)\ln\left[\ln(4x)\right]+C = \ln(4x)-\ln\left[\ln(4x)^{\ln(2)}\right]+C\)

Usando a propriedade da subtração de logaritmos, temos:

\(\boxed{I = \ln\left[\ln(4x)^{1-\ln(2)}\right]+C}\)