O número de consultas a uma “home page” de uma determinada empresa durante um período de tempo obedece a uma distribuição de Poisson.
2) O número de consultas a uma “home page” de uma determinada empresa durante um período de tempo obedece a uma distribuição de Poisson. Sabendo-se que há duas consultas em média por dia, qual a probabilidade de que: a) Em um dia sejam feitas 3 consultas? b) Em uma semana sejam feitas no máximo dez consultas? c) Em um mês sejam feitas pelo menos 50 consultas?
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RD Resoluções
Em muitas situações nos deparamos com a situação em que o número de ensaios 
é grande (
) e 
é pequeno (
), no cálculo da função binomial, o que nos leva a algumas dificuldades, pois, como podemos analisar, para muito grande e pequeno, fica relativamente difícil calcularmos a probabilidade de 
sucessos a partir do modelo binomial, isto é, utilizando a função de probabilidade
![\[p(k)=\mathbb{P}(X=k)=\left(\begin{array}{c}n\\k\end{array}\right)p^k(1-p)^{n-k}.\]](http://www.portalaction.com.br/files/tex/74ffcd4b464d28ee97c10d373d943a10a5004504.png) |
Observamos que podemos reescrever a expressão acima da seguinte forma
![\[\mathbb{P}(X=k)=\frac{n!}{k!(n-k)!}p^k\frac{n^k}{n^k}\left(1-\frac{np}{n}\right)^{n-k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}\frac{(np)^k}{n^k}\left(1-\frac{np}{n}\right)^{n-k}\]](http://www.portalaction.com.br/files/tex/37710144d9b244b0c63ed9fa5d247d9cbb423257.png) |
e, tomando 
, segue que
![\[\mathbb{P}(X = k)=\frac{n(n-1)\cdots(n-k+1)}{k!}\frac{\lambda^k}{n^k}\left(1-\frac{\lambda}{n}\right)^{n-k}=\frac{\lambda^k}{k!}1\left(1-\frac{1}{n}\right)\dots\left(1-\frac{k-1}{n}\right)\left(1-\frac{\lambda}{n}\right)^{n-k}.\]](http://www.portalaction.com.br/files/tex/9218f07dc2823ba65bd5eb92a026f116a43e5fe1.png) |
Se tomarmos o limite quando , obtemos que
![\[\lim_{n\rightarrow \infty}1\left(1-\frac{1}{n}\right)\dots\left(1-\frac{k-1}{n}\right)=1\]](http://www.portalaction.com.br/files/tex/334a3e82d6c4486642796013b2a89fa5daf9a598.png) |
e
![\[\lim_{n\rightarrow \infty}\left(1-\frac{\lambda}{n}\right)^{n-k}=\lim_{n\rightarrow \infty}\left(1-\frac{\lambda}{n}\right)^{n}=e^{-\lambda}\]](http://www.portalaction.com.br/files/tex/61f85988a10fdeace69ec28d0a19b1002e4e97e5.png) |
para 
e 
.
Assim temos que
![\[\lim_{n\rightarrow \infty}\mathbb{P}(X=k)=\frac{e^{-\lambda}\lambda^k}{k!}.\]](http://www.portalaction.com.br/files/tex/a14d450638d8052f0d05329505824fe46138cf3d.png) |
Tal expressão é devida a Poisson e é muito utilizada para calcular probabilidades de ocorrências de defeitos "raros" em sistemas e componentes.
antonio diane sande
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