Vamos comparar as unidades de cada lado da equação, pois, elas devem ser as mesmas. Isto é, como do lado esquerdo temos metro, do lado direito os dois termos que se somam devem estar, cada um, na unidade de metro. Para que isso ocorra, a unidade de b₁ deve ser m/s³, pois, multiplicando por s³ retorna a unidade metro, já b₂ deve ser medido em m/s⁴, pois, multiplica s⁴ , o que retornará também a unidade metro.

a) Da definição de velocidade temos que:  \(v={dx \over dt} \implies v={{d\over dt}(b_1t^3-b_2t^4)} \\ \)

Portanto: \(v= 3b_1t^2-4b_2t³\)

b) Da mesma forma, pela definição de aceleração temos: \(a={dv \over dt} \implies a={{d\over dt}(3b_1t^2-4b_2t^3)} \\ \)

Portanto, temos: \(a=6b_1t-12b_2t^2 \)

c) No valor máximo de x(t) sua derivada será nula, ou seja: \(v= 0m/s\)

Considerando b₁=2m/s³ e b₂=1m/s⁴, a partir de agora, obteremos o instante t no qual a velocidade é nula por:

\(v= 6t^2-4t³=0 \implies 2t²(3-2t)=0 \implies\begin {cases} 2t²=0 \implies t=0s \\3-2t=0 \implies t=1,5s \end {cases}\)

Ou seja, há 2 valores de t para os quais a derivada de x(t) é nula, porém, para termos um máximo, também é necessário que a segunda derivada neste instante seja um número negativo. Testando esta condição ao determinar o sinal da aceleração para os instantes t= 0s e t=1,5s, temos:

\(a=12t-12t^2 \implies \begin{cases} a(0)=0m/s² \\ a(1,5)=-9m/s² \end {cases}\)

Portanto, no instante t=1,5s a partícula alcança o ponto no qual o valor de x é máximo.

d) A posição da partícula é dada por x(t)=2t³-t⁴ e a distância total d percorrida pela partícula nos 3s iniciais será dada por d=|x(3)-x(0)|

Portanto, d=|x(3)-x(0)|=27m

e) Usando a equação da velocidade mostrada no item c), temos que a velocidade para t=1s será:

\(v= 6t^2-4t³ \implies v(1)=2m/s\)

f) Usando a equação da aceleração mostrada no item c), temos que a aceleração para t=2s será:

\(a= 12t-12t^2 \implies a(2)=-24m/s²\)

g) A velocidade média pode ser calculada por: \(|\overline {v}|={|x_f-x_o|\over |t_f-t_i|}={|x(4)-x(2)|\over |4-2|}\)

Mas, x(4)=-128m/s e x(2)=0m/s

Portanto: \(|\overline {v}|=64m/s\)

Vamos comparar as unidades de cada lado da equação, pois, elas devem ser as mesmas. Isto é, como do lado esquerdo temos metro, do lado direito os dois termos que se somam devem estar, cada um, na unidade de metro. Para que isso ocorra, a unidade de b₁ deve ser m/s³, pois, multiplicando por s³ retorna a unidade metro, já b₂ deve ser medido em m/s⁴, pois, multiplica s⁴ , o que retornará também a unidade metro.

a) Da definição de velocidade temos que:  \(v={dx \over dt} \implies v={{d\over dt}(b_1t^3-b_2t^4)} \\ \)

Portanto: \(v= 3b_1t^2-4b_2t³\)

b) Da mesma forma, pela definição de aceleração temos: \(a={dv \over dt} \implies a={{d\over dt}(3b_1t^2-4b_2t^3)} \\ \)

Portanto, temos: \(a=6b_1t-12b_2t^2 \)

c) No valor máximo de x(t) sua derivada será nula, ou seja: \(v= 0m/s\)

Considerando b₁=2m/s³ e b₂=1m/s⁴, a partir de agora, obteremos o instante t no qual a velocidade é nula por:

\(v= 6t^2-4t³=0 \implies 2t²(3-2t)=0 \implies\begin {cases} 2t²=0 \implies t=0s \\3-2t=0 \implies t=1,5s \end {cases}\)

Ou seja, há 2 valores de t para os quais a derivada de x(t) é nula, porém, para termos um máximo, também é necessário que a segunda derivada neste instante seja um número negativo. Testando esta condição ao determinar o sinal da aceleração para os instantes t= 0s e t=1,5s, temos:

\(a=12t-12t^2 \implies \begin{cases} a(0)=0m/s² \\ a(1,5)=-9m/s² \end {cases}\)

Portanto, no instante t=1,5s a partícula alcança o ponto no qual o valor de x é máximo.

d) A posição da partícula é dada por x(t)=2t³-t⁴ e a distância total d percorrida pela partícula nos 3s iniciais será dada por d=|x(3)-x(0)|

Portanto, d=|x(3)-x(0)|=27m

e) Usando a equação da velocidade mostrada no item c), temos que a velocidade para t=1s será:

\(v= 6t^2-4t³ \implies v(1)=2m/s\)

f) Usando a equação da aceleração mostrada no item c), temos que a aceleração para t=2s será:

\(a= 12t-12t^2 \implies a(2)=-24m/s²\)

g) A velocidade média pode ser calculada por: \(\overline {v}={x_f-x_o\over t_f-t_i}={x(4)-x(2)\over 4-2}\)

Mas, x(4)=-128m/s e x(2)=0m/s

Portanto: \(\overline {v}=-64m/s\)